número de formas de elegir conjuntos de números enteros

Dejar$k$ser un entero no negativo. Determinar el número de formas a elegir.$(k+1)^2$conjuntos$S_{i,j}\subseteq [2k] := \{1,2,\cdots ,2k\}$para enteros$i,j$con$0\leq i, j \leq k$para que para todos$0\leq i\leq c\leq k, 0\leq j\leq d \leq k, S_{i,j}\subseteq S_{c,d}.$

El número de subconjuntos de$\{1,2,\cdots, 2k\}$es$2^{2k}$. Hay por lo tanto$2^{2k}$formas de elegir el subconjunto$S_{0,0}$. Supongamos que tiene$a_0$elementos. Entonces el conjunto$S_{1,0}$debe contener estos$a_0$elementos y un subconjunto del complemento de estos$a$elementos en$\{1,2,\cdots, 2k\}$. En general, si$S_{i,0}$tiene$a_i$elementos entonces$S_{i+1, 0}$debe tener al menos$a_i$elementos y el conjunto de elementos en$S_{i+1,0}\backslash S_{i,0}$es un subconjunto de$[2k]\backslash S_{i,0}$. Sin embargo, esta cadena de razonamiento no parece muy útil, porque depende en gran medida de los tamaños de los conjuntos.$S_{i,j}$son. ¿Sería útil generar funciones y, de ser así, cómo? Obviamente uno no puede simplemente elegir$(k+1)^2$subconjuntos del conjunto de todos los subconjuntos de$[2k]$y ordenarlos porque los subconjuntos solo forman un orden parcial bajo inclusión; algunos ni siquiera son comparables.