Ordenar objetos distintos en líneas y un círculo.

Se da que tenemos$n$diferentes objetos y queremos organizarlos en líneas no vacías, luego ordenar estas líneas no vacías alrededor de un círculo. ¿Cuántas formas hay en esta pregunta? La respuesta dada es$(2^n-1)!(n-1)!$.Se da una pista para que usen la composición de funciones generadoras exponenciales.

Lo que pensé: sin usar la pista, pensé que si hay$k$lineas donde$k \in \{1,2,3...\}$, GF de estas líneas es$(x/(1-x)) ,$entonces podemos decir que

$$\sum_{k=1}^{\infty}[x^n]\bigg(\frac{x}{1-x}\bigg)^kn!$$ maneras hay de organizar estos$n$objeto distinto. Además, sé que si tengo$m$objeto distinto, puedo organizarlos alrededor de un círculo$(m-1)!$formas. Sin embargo, no podría emplearlo en esta pregunta porque creo que cuando el número de objetos en una línea es el mismo entre sí, estas líneas pueden verse como iguales y no permiten usar esta fórmula, por lo que necesitaré Enumeración de Polyas. Entonces, la pregunta será tortuosa.

Por lo tanto, quiero ayuda aquí... ¿Cómo puedo usar la pista, es decir, EGF para resolver esta pregunta y llegar a la respuesta dada?

Gracias de antemano !!

$\mathbf{\text{Addentum:}}$Para$n=3$,la respuesta es$(2^3-1)(3-1)!=14$de acuerdo con la respuesta de @ Marko Riedel. Sin embargo, cuando lo calculo por fuerza brutal, encuentro una respuesta diferente de la siguiente manera:

$1-)$Para una sola línea:$3! \times (1-1)!=6$maneras

$2-)$Para dos líneas:$3!\times C(1+2-1,1) \times (2-1)!=12$maneras

$3-)$Para tres líneas:$3!\times (3-1)!=12$maneras

resultado=$6+12+12=30$, Que me estoy perdiendo aqui ? ¿Por qué no es igual a$14$?