Producto ordenado por tiempo de dos productos ordenados normalmente de campos

Question

Producto ordenado por tiempo de dos productos ordenados normalmente de campos

usuario115687

Suponga que tiene una teoría de campo escalar con operadores de campo $\phi(x)=\phi(x)_+ + \phi(x)_-$ que se puede descomponer en términos de operadores de aniquilación y destrucción. Dejar

D (X - y) =< 0 | T (ϕ (X) ϕ (y)) | 0 >

$D(x-y) = <0|T(\phi(x)\phi(y))|0>$ ser el propagador de dicha teoría. Estoy tratando de probar la relación.

< 0 | T (: ϕ (X)^{norte} :: ϕ (y)^{metro} :) | 0 >= norte! D (X - y)^{norte} d_{norte, metro} .

$<0|T(:\phi(x)^n::\phi(y)^m:)|0> = n!\: D(x-y)^n \delta_{n,m}.$ Mi primer intento de solución fue conectar las definiciones de productos ordenados por tiempo y ordenados normalmente, usar la descomposición de

ϕ (x)

$\phi(x)$ y el teorema multinomial para expresar

ϕ (x)^{n}

$\phi(x)^n$ y

ϕ (y)^{m}

$\phi(y)^m$ . Después de que esto no me llevó a ninguna parte, busqué el teorema de Wicks y traté de usarlo. Pero no sé cuál es la contracción del producto ordenado normal con un producto ordenado normal. Sé que puedes usarlo para expresiones como

< 0 | T (: ϕ (X)^{norte} ϕ (y)^{metro} :) | 0 >,

$<0|T(:\phi(x)^n\phi(y)^m:)|0>,$ pero mi problema es obviamente diferente de eso. Luego traté de probar la relación por inducción completa, que fracasó porque no pude expresar la

(n + 1)

$(n+1)$ término en el lado izquierdo en términos del resultado para el caso

n

$n$ . Mi último recurso fue resolver esto para el caso.

n = m = 2

$n=m=2$ y luego trabajar mi camino hasta poderes arbitrarios. Busqué mi problema en el libro de Peskin y Schröder y también en Advanced Quantum Mechanics de Schwabel, pero no encontré nada más que las definiciones y los ejemplos introductorios. Estudié atentamente las preguntas.

He estado pensando en este problema durante muchos días y cualquier ayuda o idea, desde la que pueda comenzar, sería muy apreciada.

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qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

El punto de partida es la relación de 2 puntos
$\begin{matrix} (1) & T (ϕ (X) ϕ (y)) - : ϕ (X) ϕ (y) : = C (X, y) 1, C (X, y) \equiv ⟨ 0 | T (ϕ (X) ϕ (y)) | 0 ⟩, \end{matrix}$ $T(\phi(x)\phi(y)) ~-~:\phi(x)\phi(y): ~=~ C(x,y)~{\bf 1}, \qquad C(x,y)~\equiv~\langle 0 | T(\phi(x)\phi(y))|0\rangle,\tag{1}$ cf. esta publicación Phys.SE.
El teorema de Wick relevante es un teorema de Wick anidado
$T (: ϕ (X)^{norte} :: ϕ (y)^{metro} :) = Exp (C (X, y) \frac{\partial}{\partial ϕ (X)} \frac{\partial}{\partial ϕ (y)}) : ϕ (X)^{norte} ϕ (y)^{metro} :$ $T(:\phi(x)^n::\phi(y)^m:)~=~\exp\left( C(x,y)\frac{\partial}{\partial\phi(x)}\frac{\partial}{\partial\phi(y)}\right): \phi(x)^n \phi(y)^m:$ $\begin{matrix} (2) & = \sum_{r = 0}^{min (norte, metro)} \frac{norte!}{(norte - r)!} \frac{metro!}{(metro - r)} \frac{C (X, y)^{r}}{r!} : ϕ (X)^{norte - r} ϕ (y)^{metro - r} :, \end{matrix}$ $~=~\sum_{r=0}^{\min(n,m)} \frac{n! }{(n\!-\!r)!} \frac{m!}{(m\!-\!r)}\frac{C(x,y)^r}{r!} : \phi(x)^{n-r} \phi(y)^{m-r}:, \tag{2}$ cf. mi respuesta Phys.SE aquí . El punto principal es que al aplicar el teorema de Wick anidado a la lhs. de la ec. (2), solo se deben incluir todas las contracciones posibles entre diferentes símbolos de orden normal y excluir las contracciones que están puramente dentro del mismo símbolo de orden normal.
Recuerda el hecho de que
$\begin{matrix} (3) & ⟨ 0 | : ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{norte}) : | 0 ⟩ = d_{norte}^{0} . \end{matrix}$ $\langle 0 | :\phi(x_1)\ldots \phi(x_n):|0\rangle ~=~\delta_n^0. \tag{3}$
Combinar ecs. (2) y (3) para concluir la identidad buscada
$\begin{matrix} (4) & ⟨ 0 | T (: ϕ (X)^{norte} :: ϕ (y)^{metro} :) | 0 ⟩ = norte! d_{norte}^{metro} C (X, y)^{norte} . \end{matrix}$ $\langle 0 |T(:\phi(x)^n::\phi(y)^m:)|0\rangle~=~n!~\delta_n^m ~C(x,y)^n. \tag{4}$

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usuario115687

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Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?