¿Cómo derivar la relación de completitud en la teoría cuántica de campos con una medida invariante de Lorentz?

∙ 1. Para los estados de una partícula, la relación de completitud se da en Peskin y Schroeder,

( 1 ) 1 − pag a r t i C yo mi = ∫ d 3 pag ( 2 π ) 3 | pag ⟩ 1 2 mi pag ⟨ pag |
¿Cómo se deriva esto?

∙ 2. En la expansión de un estado general de Fock | Ψ ⟩ como | Ψ ⟩ = 1 | Ψ ⟩ ¿Podemos aproximar el operador de identidad como

1 ≈ ( 1 ) 1 − pag a r t i C yo mi ?
¿Si sí, cuándo?

∙ 3. Si no, ¿cómo se derivan relaciones de completitud similares para estados de 2 partículas? | pag 1 , pag 2 ⟩ (o en general, para norte -estados de partículas | pag 1 , pag 2 . . . | pag norte ⟩ )?

Respuestas (1)

  1. Solo tienes que demostrar que 1 1 pag actúa como la identidad en estados de una partícula:

    1 1 pag | q ⟩ = [ ∫ d 3 pag ( 2 π ) 3 | pag ⟩ 1 2 mi pag ⟨ pag | ] | q ⟩ = ∫ d 3 pag ( 2 π ) 3 | pag ⟩ 1 2 mi pag ⟨ pag | q ⟩ ⏞ ( 2 π ) 3 2 mi pag d ( pag − q )
    que de hecho es igual | q ⟩ , como cabría esperar del operador de identidad. Además, usando ⟨ pag | q 1 , q 2 ⋯ , q norte ⟩ = 0 , vemos eso ( 1 ) 1 pag es ortogonal a estados multipartícula.

    En otras palabras, 1 1 pag es la identidad cuando actúa sobre estados de una sola partícula, y aniquila estados con dos o más partículas. Por lo tanto, es el proyector en el subespacio de una partícula.

    En general, si su base se normaliza a ⟨ φ | φ ′ ⟩ = F ( φ ) d ( φ − φ ′ ) , entonces la identidad es

    1 = ∫ d φ F ( φ ) | φ ⟩ ⟨ φ |
    como se puede ver actuando con 1 en un estado general | φ ′ ⟩ , y comprobando que efectivamente se obtiene 1 | φ ′ ⟩ = | φ ′ ⟩ .

  2. El operador 1 1 pag proyectos en el subespacio de una partícula. Puedes decir eso 1 ≈ 1 1 pag si y solo si se puede despreciar la contribución multipartícula. Para ver un ejemplo, consulte la representación espectral de Källén-Lehmann : aquí, el subespacio de una partícula genera un polo en pag 2 = metro 2 . Por lo tanto, mientras pag 2 ∼ metro 2 , la contribución multipartícula es despreciable en comparación con la contribución de una partícula: esta última genera un polo, mientras que la primera es regular. En este caso, puede aproximar 1 ≈ 1 1 pag . Para otros casos, no existe una regla general: puede despreciar la contribución multipartícula si y solo si domina la parte de una partícula, lo que solo puede concluir si calcula explícitamente ambas partes y las compara.

  3. El proyector en el norte subespacio de partículas es sencillo:

    1 norte = 1 norte ! ∫ d 3 pag 1 ( 2 π ) 3 2 mi pag 1 ⋯ d 3 pag norte ( 2 π ) 3 2 mi pag norte | pag 1 , ⋯ , pag norte ⟩ ⟨ pag 1 , ⋯ pag norte |
    como se puede ver actuando sobre un general norte estado de partícula | q 1 , ⋯ , q norte ⟩ .

    Con esto, la identidad sobre el espacio completo de Hilbert es

    1 = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + ∑ norte = 1 ∞ 1 norte

Tenga en cuenta también que en las teorías de calibre, la suma de todos los estados incluye también una suma de estados fantasma, cf. esta publicación del PSE .
¿Puedo preguntar cuál es el propósito de la notación para los momentos caligráficos en negrita que pretende comunicar?
@InertialObserver cf. wikipedia en notación vectorial .
¿Cómo derivar la relación de completitud en la teoría cuántica de campos con una medida invariante de Lorentz?
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