¿Cuándo y cómo se desarrolló la comprensión geométrica de las teorías de gauge?

Me centraré específicamente en la geometría de las teorías de Yang-Mills, pero como señala la respuesta de Conifold , las teorías de calibre se estudiaron geométricamente mucho antes del trabajo de Yang y Mills.

El prólogo del volumen 5 de las obras completas de Atiyah (sobre teorías de calibre) contiene algunos comentarios históricos sobre esto desde el lado de las matemáticas. Puedes leerlo aquí . Esto es probablemente un poco más tarde de lo que está buscando, ya que tiene más que ver con el estudio posterior de las propiedades geométricas profundas de la teoría de Yang-Mills que con la interpretación (comparativamente) simple de Yang-Mills como una acción en el espacio de conexiones

Atiyah dice que su propio interés en el tema comenzó en 1977, cuando dice que el interés en las teorías de calibre entre los matemáticos apenas comenzaba (citando la influencia de Yang en los círculos matemáticos). Eso coincide bastante bien con sus escritos. El primer escrito incluido en su colección es [1]. Este documento que cita trae muchas de las ideas en la teoría de calibre a la comunidad matemática. En él, muestra que el problema de varios instantes se puede reducir a la construcción de paquetes de vectores adecuados en un espacio proyectivo tridimensional. La construcción se completó en [2]. Escribió varios artículos más ese año y en los años siguientes sobre la geometría y la topología de los campos de Yang-Mills. Sus artículos (y otros) de finales de los 70 son los primeros que conozco escritos por matemáticos sobre la geometría de la teoría de Yang-Mills.

A principios de los años 80, varias otras personas comenzaron a publicar sobre este tema. Algunos de los grandes nombres son Donaldson, Hitchin y Witten. En particular, el estudio de Donaldson de 4-variedades vía instantons en [3] demostró ser de gran interés. En ese momento, quedó claro que las ecuaciones de Yang-Mills podrían usarse con gran efecto para algo más que la física. Es justo decir que el interés en ellos continuó durante los años 80 y, en algunos casos, hasta el día de hoy.

Los desarrollos anteriores a este fueron asumidos casi por completo por los físicos. Sé menos de la historia aquí porque los físicos parecen menos inclinados a escribir relatos detallados de la cronología de los eventos. Está claro que en 1977, los físicos ya sabían que Yang-Mills podía verse en términos de una acción funcional en el espacio de conexiones, aunque las consecuencias geométricas no habían sido exploradas. (Por supuesto, los físicos tenían problemas más grandes con los que lidiar antes de eso, como comprender cómo dar masa a los bosones de calibre y probar la renormalizabilidad de los Yang-Mills cuánticos). La fuente más antigua que conozco para esto es Popov en [4] en 1975. En esto, muestra que la interpretación geométrica ahora estándar de Yang-Mills a través de paquetes y conexiones principales produce las ecuaciones de Yang-Mills. De todos modos, eso'

Referencias:

[1] MF Atiyah y RS Ward: "Instantons y geometría algebraica", Comm. Matemáticas. física 55 : 2 (1977), págs. 117–124.

[2] MF Atiyah, NJ Hitchin, VG Drinfel'd y Yu. I. Manin: "Construcción de instantones", Phys. Letón. A 65 : 3 (1978), págs. 185–187.

[3] SK Donaldson, "Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones", Jour. Geometría diferencial 18 (1983), 279-315.

[4] Popov, DA, "Teoría de los campos de Yang-Mills", 1975, Teor. Estera. Fiz. 24, 347.

Me centraré en la historia anterior al artículo de Yang-Mills. El primer presagio fue la introducción del potencial escalar para el campo gravitatorio por Lagrange en 1773. En 1864 Maxwell introdujo el potencial vectorial para el campo magnético, que puede interpretarse como una forma de conexión, haciendo de la teoría magnética la primera teoría de calibre en retrospectiva. En el famoso artículo de 1905, Einstein unió los potenciales escalares y vectoriales en un potencial de 4, que es una forma de conexión en el fondo de cuatro dimensiones. Al mismo tiempo, el desarrollo de la geometría diferencial condujo a otro tipo de conexión, la de Riemann, en forma de derivada covariante. Los símbolos de Christoffel fueron la primera aparición de la misma, y ​​Ricci y Levi-Civita desarrollaron la teoría basada en la "diferenciación absoluta" (derivadas covariantes) sistematizadas en su libro de 1900.

Pero esto califica como más de una prehistoria. La verdadera historia de la teoría de calibre comienza en los artículos de Hermann Weyl de 1918-1920, donde reunió diferentes hilos que se desarrollaron hasta ese momento. Irónicamente, Weyl también estaba motivado por la teoría de la gravedad, la relatividad general. Primero, notó que no se necesita una métrica de Riemann para definir el transporte paralelo, lo que ahora se llama conexión afín es suficiente. Luego se dio cuenta de que la geometría de Riemann no es del todo local, las longitudes de los vectores en diferentes puntos, siendo números, se pueden comparar en el sentido absoluto. Para localizarlo por completo, cambió a métricas conformes acompañadas de un campo de escalas, en la terminología moderna, secciones de un paquete principal con la fibra, el grupo multiplicativo de números reales positivos.$R^+$. Transportar escalas (gauges) requiere especificar una forma 1, una forma de conexión principal, y cambiarlas induce una transformación de esta forma, una transformación de calibre. Weyl luego formuló por primera vez el principio de invariancia de calibre, la forma de las leyes naturales debe ser invariante bajo cambios locales de calibre.

Dado que las fórmulas que obtuvo eran idénticas a las del electromagnetismo, Weyl conjeturó que la curvatura de la conexión de su escala era exactamente el campo electromagnético. Incluso escribió ecuaciones acopladas para campos electromagnéticos y gravitacionales que produjeron la primera teoría del campo unificado (Kaluza propuso su teoría de cinco dimensiones casi al mismo tiempo, la publicó en 1921). Desafortunadamente, no era físico, como señaló Einstein en breve.

Weyl volvió a la idea de calibre en 1929, desde la perspectiva de la mecánica cuántica. Esta vez en lugar del campo de escalas usó el campo de fases, que se reemplaza$R^+$con U(1) como fibra. Las fórmulas son casi las mismas, excepto por la presencia de i, nunca consideró paquetes principales no abelianos. En 1930, Dirac utilizó haces U(1) no triviales para describir los monopolos magnéticos. Estos desarrollos son descritos en detalle por Varadarajan en su documento de encuesta .

Después de Weyl, los caminos matemático y físico vuelven a divergir. Elie Cartan usó conexiones especializadas para estudiar los sistemas de Pfaffian en 1926, vivían en haces de fibras con fibras que eran espacios homogéneos (geometrías kleinianas), su trabajo solidificó la visión de las conexiones como formas 1 con valor matricial. Dos grandes desarrollos se produjeron en 1950, Koszul dio una descripción algebraica general de las conexiones en paquetes de vectores como derivadas covariantes y eliminó la necesidad de objetos no tensoriales como los símbolos de Christoffel. Ehresmann, estudiante de Cartan, finalmente dio una definición general de conexión en un haz principal, abeliano o no, y aclaró la relación general entre conexiones en un haz principal y asociado. Sin embargo, su noción de conexión era muy abstracta, una distribución horizontal en el paquete tangente al espacio total, que puede usarse para definir directamente el transporte paralelo.

Cuando Yang y Mills introdujeron en su artículo la primera teoría de calibre no abeliana (con SU(2) como fibra) en 1954, no estaban al tanto de estos desarrollos matemáticos, la relación entre las conexiones principales y los campos de calibre se aclaró en el años siguientes a su publicación.