¿Cuál fue la motivación del espacio-tiempo de Minkowski antes de la relatividad especial?

No exactamente. Minkowski tuvo la idea de representar la relatividad especial como geometría en 1907 bajo la influencia directa del artículo de Einstein de 1905, y la desarrolló en Raum und Zeit (1907) y Zwei Abhand lungen über die Grundgleichungen der Elektrodynamik (1909). Ver Minkowski en MacTutor . Antes de eso, solo apareció el "espacio-tiempo" clásico, y solo superficialmente. D'Alembert escribió en la entrada Dimensión de la Enciclopedia (1756): " Se podría considerar el tiempo como una cuarta dimensión, de modo que el producto del tiempo por el volumen sería, en cierto sentido, el producto de cuatro dimensiones; esta idea es quizás discutible, pero siento que tiene ciertos méritos... " A finales del siglo XIX la idea se puso bastante de moda en la cultura popular.Espacio de cuatro dimensiones , que decía:

" Dado que esta cuarta dimensión no puede introducirse en el espacio, como se entiende comúnmente, necesitamos un nuevo tipo de espacio para su existencia, que podemos llamar tiempo-espacio... Debemos, por lo tanto, concebir que hay una nueva tridimensionalidad". espacio para cada instante sucesivo de tiempo; y, al representarnos el agregado formado por las posiciones sucesivas en el tiempo-espacio de un sólido dado durante un tiempo dado, obtendremos la idea de un sólido de cuatro dimensiones, que puede llamarse un sur-sólido... Que cualquier hombre se imagine el agregado de sus propias formas corporales desde el nacimiento hasta el presente... "

Y en 1895 Wells, inspirado por un compañero de estudios en el colegio Imperial, lo inmortalizó en su Máquina del Tiempo, véase Cuando Einstein conoció a HG Wells de Halpern .

Antes de Minkowski, lo que llamamos geometría de Minkowski en dos y tres dimensiones apareció en una larga lista de geometrías en la clasificación de Klein bajo su programa de Erlangen (1872). Pero solo surgió como una colección de objetos invariantes bajo todas las transformaciones que conservan una forma cuadrática con firma indefinida. El programa de Erlangen en general se trataba de interpretar geometrías como invariantes de varios grupos de transformación que actúan en el espacio proyectivo, amplió enormemente el número de geometrías homogéneas conocidas de las hiperbólicas y elípticas descubiertas originalmente. Sin embargo, a diferencia de ellos, no tenía interpretación espacial. Antes de 1910, en sus popularizaciones del programa de Erlangen, Klein solo trató las geometrías espaciales con algún detalle. Anteriormente, ni siquiera contó el número total de geometrías que produjo su construcción, y mencionó las generalizaciones de mayor dimensión requeridas para el espacio-tiempo solo en oraciones individuales.

Hay una conexión con los números complejos divididos introducida por Cockle (1848) y estudiada por Clifford en 1873 bajo el nombre de números dobles. Pero eso fue principalmente juego algebraico, y la conexión con la geometría de Minkowski se señaló solo después de Minkowski. Esto es a pesar del hecho de que Clifford estaba profundamente involucrado con las geometrías no euclidianas, y su breve nota Sobre la teoría espacial de la materia (1876) anticipó la idea de Einstein de reducir la materia a la curvatura (pero del espacio, no del espacio-tiempo). Incluso Poincaré, quien en 1905expresó la teoría del éter de Lorentz (equivalente matemáticamente a la relatividad especial) en términos de lo que llamamos grupo de transformaciones de Poincaré, y estaba bien familiarizado con el programa de Erlangen, tampoco hizo la conexión geométrica. En Ciencia e hipótesis (1902) incluso mencionó la " cuarta geometría " del espacio, además de las elípticas, hiperbólicas y euclidianas, y señaló que en ella las líneas pueden ser perpendiculares entre sí. Pero según la Dinámica del electrón de Poincaré de Weinstein , en sus famosos artículos de 1904-06, " Poincaré no asoció esta forma cuadrática con la propagación de la luz para definir un intervalo nulo como Einstein o una métrica como Minkowski ".

Felix Klein and Sophus Lie de Yaglom brinda muchos detalles históricos sobre la geometría de finales del siglo XIX y su relación con la relatividad con referencias a las fuentes originales.

El espacio-tiempo de Minkowski fue considerado por los matemáticos antes que Einstein y antes que Minkowski. Por supuesto, no se usó el nombre "espacio-tiempo". Las razones eran puramente matemáticas, no físicas. La aplicación más importante fue el modelo de Klein de la geometría hiperbólica (geometría no euclidiana de Bolyai y Lobachevski). Más precisamente, Klein consideró la métrica

Cuando escribí que las razones eran puramente matemáticas, no tomé en cuenta que Lobachevski y Gauss admitieron la posibilidad de que la geometría hiperbólica se mantenga en el espacio físico real. Ambos se dieron cuenta de que ningún experimento nos dice realmente que la geometría de nuestro espacio físico es euclidiana. Un experimento puede decirnos lo contrario: nunca se puede estar seguro de que la suma de los ángulos de un triángulo sea exactamente igual a 180 grados, pero un experimento puede demostrar que es menor, si es que es menor. Hay indicios de que Gauss realmente intentó este tipo de experimento (midiendo ángulos de un triángulo realmente grande entre las cimas de las montañas). Pero aparentemente las conexiones con la física no estaban entre las motivaciones de Klein.

Complementando la respuesta de Conifold, quizás sea instructivo citar la presentación de Minkowski Raum und Zeit en el 80º Congreso de Científicos Naturales Alemanes en Colonia el 21 de septiembre de 1908, unos pocos meses antes de su propia muerte. En este discurso deja claro el origen físico de su espacio-tiempo epónimo:

Mein Herren! Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.

o en traducción

¡Caballeros! Los puntos de vista del espacio y el tiempo que deseo presentarles han surgido del suelo de la física experimental y ahí reside su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante, el espacio en sí mismo, y el tiempo en sí mismo, están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solo una especie de unión de ambos mantendrá una realidad independiente.

Aunque la idea de combinar las dimensiones del espacio y el tiempo ya era tácita en el Principio de Relatividad de Galileo, que amplía el conjunto de simetrías clásicas (traslaciones y rotaciones para el espacio, traslaciones para el tiempo) para incluir una transformación de simetría (el impulso "galileano") que involucra tanto dimensiones de espacio y tiempo, no fue reconocido explícitamente como tal antes del siglo XX. Así que el matrimonio de los dos fue una fuga que no se consumó hasta unos cientos de años después.

La idea de que los dos deberían combinarse con la métrica específica que defendía Minkowski ciertamente no estaba presente antes de Einstein. Aunque Lorentz introdujo un conjunto de simetrías para tratar de recuperar la forma "estacionaria" de las leyes constitutivas isotrópicas de Maxwell, las ecuaciones que en realidad publicó no eran relativistas (contrariamente a lo que afirmaba un encuestado anterior), sino covariantes con respecto a la ecuación galileana. transformar.

La idea de que la teoría de Lorentz era relativista es un mito folclórico generalizado presente, incluso en la comunidad física. Pero, de hecho, la naturaleza no relativista de la teoría de Lorentz fue un punto que el propio Einstein señaló poco después de la publicación por Minkowski y más tarde por Einstein y Laub de una teoría relativista para medios en movimiento en 1908.

El artículo de Minkowski fue, de hecho, donde también introdujo su geometría. La nota sobre la teoría de Lorentz era "Comentario sobre el artículo de D. Mirimanoff 'Sobre las ecuaciones fundamentales...'" Annalen der Physik 28 (1909): 885-888, contenida en la siguiente compilación. Y también diré algunas palabras sobre esto aquí abajo.

Los artículos de Einstein-Laub se analizan con más detalle aquí https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-doc/539 junto con algunas notas sobre su relación con el artículo de Minkowski sobre "medios en movimiento" ("Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, págs. 53–111). Como puede ver en la discusión en el enlace adjunto: inicialmente, Einstein y Laub no estaban interesados ​​en la idea de encajar la Relatividad en una geometría de Minkowski.

El artículo de Minkowski en realidad fue un poco más allá, por cierto, que simplemente establecer un conjunto de ecuaciones para medios en movimiento: mencionar nociones de grupos de transformación, por ejemplo. También noté que parece haber usado algún tipo de quinta coordenada (que denotó por ϑ). Todavía no he leído el documento con suficiente detalle para ver por qué hizo eso, pero es algo que me interesa, por razones que pronto se aclararán.

Las ecuaciones de Maxwell para medios en movimiento con lo que ahora se conoce como leyes constitutivas de Maxwell-Minkowski son

    ∇·𝐁 = 0, ∇×𝐄 + ∂𝐁/∂t = 𝟎

para fuerza eléctrica 𝐄 e inducción magnética 𝐁,

    ∇·𝐃 = ρ, ∇×𝐇 - ∂𝐃/∂t = 𝐉

para inducción eléctrica 𝐃 y fuerza magnética 𝐇, con densidad de carga ρ y densidad de corriente 𝐉, y

    𝐃 + α 𝐆×𝐇 = ε(𝐄 + 𝐆×𝐁), 𝐁 - α 𝐆×𝐄 = μ(𝐇 - 𝐆×𝐃)

para la ley constitutiva de Maxwell-Minkowski, para medios en movimiento con una velocidad de referencia 𝐆.

Lo que Minkowski y Einstein-Laub publicaron fue la versión de las ecuaciones equivalentes a las anteriores donde α > 0, con la velocidad de la luz identificada como c = 1/√α. Para el vacío, εμ = α, y siempre que |𝐆| < c, las ecuaciones constitutivas son equivalentes a la forma isótropa "estacionaria" para 𝐆 = 𝟎.

En cambio, lo que publicó Lorentz (como también señaló Einstein en 1909) equivale a la versión no relativista de la ley constitutiva, que es el caso donde α = 0. El conjunto de ecuaciones resultante, a su vez, es consistente con las utilizadas por Heaviside y Hertz. Todos ellos son no relativistas.

Lo que hizo Lorentz en sus artículos fue realizar una transformada galileana en las ecuaciones para obtener la ley constitutiva no relativista (e incorrecta) con α = 0; y luego para manejar el caso del vacío, planteó una segunda transformada ad hoc para recuperar la forma "estacionaria" de la ley. Esa segunda transformada es equivalente a componer una transformada galileana inversa y una transformada de Lorentz directa. Entonces, de esta manera, tropezó con lo que ahora llamamos transformadas de Lorentz.

Pero en lugar de caracterizarlo como una propiedad fundamental del espacio-tiempo y luego, lo que es más importante , hacer las correcciones relativistas a la ley constitutiva, mantuvo la ley constitutiva intacta en forma no relativista e impulsó la corrección inversa-galileana + adelante-Lorentz como algo que probablemente surgió de las propiedades mecánicas del propio campo electromagnético. Sus ecuaciones son no relativistas y covariantes de Galileo; y, debido a eso, incluso con su solución adicional, sus ecuaciones constitutivas para los medios en movimiento simplemente estaban equivocadas.

Las ecuaciones, cuando α > 0, se asocian naturalmente con una geometría que tiene - como sus invariantes -

    dt² - α (dx² + dy² + dz²),
    ((∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²) - α (∂/∂t)²,
    dt (∂/∂t) + dx (∂/∂x) + dy (∂/∂y) + dz (∂/∂z),

que es lo mismo que caracteriza a la geometría de Minkowski.

Por el contrario, las ecuaciones publicadas por Lorentz, y otros anteriores a Einstein, (así como las ecuaciones que describen los fundamentos de la física newtoniana) concuerdan con la geometría que tiene estos invariantes.

    dt²,
    (∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²,
    dt (∂/∂t) + dx (∂/∂x) + dy (∂/∂y) + dz (∂/∂z).

Y esto es a lo que se habrían enfrentado las personas anteriores al siglo XX, si quisieran idear una cronogeometría unificada para el espacio-tiempo... en lugar de la geometría de Minkowski. Entonces, por esa razón nunca llegó a ninguna parte; y también por esa razón, ninguna noción de geometría de Minkowski habría surgido antes del siglo XX en conexión con la teoría electromagnética o cualquier parte de la Física newtoniana.

De hecho, como está a punto de ver, habría habido un fuerte desincentivo en contra de presentar una geometría de cuatro dimensiones por una razón muy simple, una razón que no se dio cuenta adecuadamente hasta bien entrado el siglo XX. Y también puede ser lo que hay detrás de la resistencia inicial de Einstein y Laub a la idea de la geometría 4D de Minkowski, incluso si ellos mismos no se dieron cuenta en ese momento.

La razón es esta: ¡la masa, la energía cinética y el momento se transforman juntos como un vector 5, no como un vector 4! Antes de la Relatividad hubiera sido natural considerar el 5-vector masa-momento-energía (m, 𝐩, H). Einstein, en sus artículos anteriores, trató a H y m por separado y no escribió nada como E = Mc², sino M = m + H/c² para "masa en movimiento" y energía cinética. Bajo una transformada de impulso galileana, con velocidad de impulso 𝐰, el vector 5 se transforma como (m, 𝐩, H) → (m, 𝐩 ‒ 𝐰m, H ‒ 𝐰·𝐩 + ½ w² m). Bajo un impulso infinitesimal 𝞄, se transforma como Δ(m, 𝐩, H) = (0, ‒𝞄m, ‒𝞄·𝐩).

Para la teoría relativista, lo que mostró Einstein es que la transformada infinitesimal tiene que modificarse a Δ(m, 𝐩, H) = (0, ‒𝞄(m + αH), ‒𝞄·𝐩), tomando α = 1/c² > 0, en lugar de α = 0. Por lo tanto, los primeros artículos solo afirmaban que "la energía también tiene inercia" e identificaban la "masa en movimiento" de un cuerpo como M = m + αH.

Después del artículo de Minkowski, el consenso recayó en fortalecer la declaración "la energía también tiene inercia" a "la masa es energía" y combinar la energía cinética y la masa en la energía total E = mc² + H; cambiar el enfoque escribiendo E = Mc², en lugar de M = E/c²; y luego considerando solo el vector de 4 (𝐩, E) en lugar del vector de 5, ya que está cerrado bajo transformadas, con el impulso infinitesimal dado por Δ(𝐩, E) = (‒α𝞄E, ‒𝞄·𝐩). Ese es el 4-vector de energía-momento.

Probablemente la característica más importante de este 4-vector es que forma un invariante con las coordenadas diferenciales (dx, dy, dz, dt) = (d𝐫, dt), ya que su transformada de impulso está dada infinitesimalmente por Δ(d𝐫, dt) = (‒𝞄 dt, ‒α𝞄·d𝐫). En consecuencia, juntos dan el invariante

    𝐩·d𝐫 ‒ E dt.

No se puede formar tal invariante, ya sea relativista o no relativista, con el momento y la energía cinética. De hecho, lo que encuentras es que

    Δ(𝐩·d𝐫 ‒ H dt) = (‒𝞄(m + αH))·d𝐫 ‒ (‒𝞄·𝐩) dt + 𝐩·(‒𝞄 dt) ‒ H(‒α𝞄·d𝐫) = ‒m(𝞄·d𝐫)

por lo que pierde una de las principales ventajas del enfoque geométrico 4D utilizado en la Relatividad. No fue hasta bien entrado el siglo XX - de hecho, la década de 1950 - que se resolvió este problema - asociar otra coordenada (u) con la masa m, que poseía la transformada infinitesimal Δ(du) = 𝞄·d𝐫, y luego una recupera un invariante para el 5-vector:

    Δ(𝐩·d𝐫 ‒ H dt + m du) = 0.

¡Esto se aplica tanto al caso no relativista α = 0 como al caso relativista α > 0! En el primer caso, la geometría se conoce como geometría de Bargmann y el grupo de simetría que la acompaña se llama grupo de Bargmann. Se describe de manera equivalente como la extensión central del grupo de Galilei.

Esto es suficiente, de hecho, para brindarle la base para el análogo newtoniano de la relatividad general, como se descubrió mucho más recientemente en la década de 1980 (!) "Estructuras de Bargmann y teoría de Newton-Cartan" https://inspirehep.net/literature/202550 . La versión no relativista de la solución de Schwarzschild viene dada por

    dx² + dy² + dz² + 2 dt du ‒ 2U dt² = 0

donde U = -GM/r es el potencial gravitacional por unidad de masa. Las geodésicas son las órbitas descritas por la Ley de la gravedad de Newton.

En el caso relativista, el grupo y la geometría no tienen nombre que yo sepa; pero está estrechamente relacionado con una variedad de cuestiones dispares que nunca han encajado bien en la Relatividad en el marco proporcionado por la geometría de Minkowski (por ejemplo, la complejidad del álgebra de Dirac, el "truco de Stuckelberg", así como una serie de otras cuestiones). También surge en la cosmología 5D, y la coordenada adicional se puede reinterpretar como "tiempo histórico" s = t + αu, ya que la coordenada (s) se transforma como un invariante. Irónicamente, eso recupera y da realización geométrica al "tiempo absoluto" versus el "tiempo local" de Lorentz. Entonces, se podría decir, a causa de esto, que Lorentz ya se dirigía en esta dirección.

El grupo de simetría para la geometría es solo el grupo de Lorentz no homogéneo de 10 generadores (= grupo de Poincaré), en sí mismo, trivialmente extendido con una simetría de traslación para la coordenada u como un undécimo generador.

La solución de Schwarzschild, en sí misma, se puede escribir de manera equivalente en esta geometría como

    dx² + dy² + dz² + 2 dt du + α du² ‒ 2U dt² ‒ 2αU dr²/(1 + 2αU) = 0

donde r = √(x² + y² + z²) y dr = (x dx + y dy + z dz)/r; con la coordenada s dándote el tiempo adecuado para la métrica de Schwarzschild.

Esto es a lo que se habrían enfrentado las personas antes del siglo XX, si intentaran unificar el espacio y el tiempo en una única cronogeometría. Con α > 0, el uso de una geometría 5D es opcional, ya que puede salirse con la suya con 4D. Pero con α = 0, es virtualmente obligatorio tener la coordenada adicional (u) en su lugar, también, para que las cosas funcionen de manera consistente. Como habría dicho Michael Fox, después de viajar en el tiempo a los días del steampunk, no creo que hubieran estado preparados para eso.

Einstein era un físico matemático más que un matemático puro, es decir, alguien interesado en las matemáticas por sí mismas. Es probable que conociera la geometría no euclidiana dada su importancia en los círculos matemáticos, pero dado que no se había demostrado que fuera útil en física, no sabía nada al respecto hasta que la reformulación de Minkowski llamó su atención. Los matemáticos ya estaban interesados ​​en este espacio, ya que era una instancia de espacio hiperbólico en oposición a nuestro espacio euclidiano habitual; el otro ejemplo principal de geometría no euclidiana es el espacio esférico o elíptico.

Esto tuvo alguna consecuencia, ya que fue en este lenguaje que formuló la Relatividad General; sin embargo, siempre insistió en la primacía de lo físico; por ejemplo, cuando un colega dijo que el movimiento en GR debería entenderse geométricamente a través de la ecuación geodésica, insistió en lo contrario; para él, esa ecuación debía entenderse como una unificación de inercia y gravitación. En este sentido, se remonta a Hertz, quien buscaba una forma de unificar la física expresando todo a través de fuerzas restrictivas.