La acción de Dirac es , y la ecuación de Dirac es . Entonces las soluciones de las ecuaciones de movimiento tienen acción exactamente cero. Como otro ejemplo, el oscilador armónico tiene una acción proporcional a la integral de , y esto también desaparece para cualquier solución que haga un número entero de oscilaciones.
Por supuesto, el valor cero no es tan importante, porque siempre puedes agregar una constante a la acción. Pero no puede agregar una constante a cualquier acción y hacer que las soluciones tengan acción cero, eso se siente como una propiedad muy especial. ¿Existe un criterio para cuando los sistemas tienen esta propiedad? ¿Tiene algún significado más profundo?
No creo que haya ningún significado profundo. Para cualquier teoría de campo libre (incluida la ecuación de Dirac), la densidad lagrangiana es cuadrática en los campos (hasta una constante que no hay razón para no establecer en cero) y se puede escribir como para algún operador diferencial lineal , por lo que la ecuación de movimiento tomará la forma esquemática , y la densidad lagrangiana se desvanecerá en el caparazón. Tan pronto como agregue interacciones, esto ya no funcionará porque los pesos relativos de los diferentes términos cambiarán cuando diferencie y la densidad de Lagrange ya no será proporcional a la expresión de Euler-Lagrange.
Con respecto al oscilador armónico simple, no hay una razón física particularmente buena para considerar solo el movimiento sobre un número entero (en realidad medio entero) de oscilaciones. El SHO tiene muchas cantidades dinámicas sinusoidales, por lo que está bastante claro que la acción también debe serlo, y no sorprende que pase por 0 cada número medio entero de oscilaciones. (Por cierto, el término cinético del Lagrangiano para el SHO no es , es . Las dos cantidades son físicamente iguales pero conceptualmente muy diferentes. Los lagrangianos tienen velocidades generalizadas y los hamiltonianos tienen momentos generalizados).
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