¿Cambian las restricciones primarias de primera clase el campo eléctrico en la forma hamiltoniana de la teoría de Maxwell?

El problema radica en que lo que aprendemos sobre la dinámica restringida antigua del enfoque tradicional de Dirac no está completo y es de alguna manera inconsistente, y lo anterior es un ejemplo de esto. Este fue el mensaje del artículo de Pitts mencionado en la pregunta anterior, quien revisó un montón de trabajos anteriores sobre este mismo asunto. Mencionaré un par de referencias de ese documento que deberían aclarar el problema y resolverlo.

Lo que está mal es que el generador de la transformación de calibre en un determinado sistema restringido no es una restricción de primera clase aislada , sino una cierta combinación lineal de restricciones de primera clase . Esto es lo que trata de enfatizar el mencionado artículo de Pitts. De alguna manera, la gente trabajó por inercia desde las notas de la conferencia de Dirac, y nunca se dio cuenta de que una sola restricción de primera clase no genera una transformación de calibre, sino un "mal cambio" (como lo llama Pitts) como usted ha declarado en su pregunta. Luego vino Castellani en 1982, y en su artículo "Simetrías en sistemas restringidos" en Annals Phys. 143, pág. 357 (1982)formuló un generador de simetrías de calibre como una combinación lineal bien definida de restricciones de primera clase. Este documento es muy revelador y lo recomiendo como punto de partida cuando uno comienza con sistemas restringidos. Allí deriva un algoritmo que determina la forma de un generador de calibre, y luego deriva generadores de calibre para un modelo de juguete simple, para la relatividad general y para las teorías de Yang-Mills (de las cuales el electromagnetismo es un caso especial, por lo que los resultados también se aplican). a la pregunta anterior). Todas ellas son una combinación lineal de restricciones de primera clase .

También hay una buena discusión y posiblemente una respuesta muy detallada a la pregunta exacta publicada anteriormente, en un artículo de Pons , así como en el libro de Sundermeyer " Simetrías en física fundamental ".

La conclusión es: las restricciones de primera clase aisladas (primarias, secundarias o terciarias...) no generan, en general, transformaciones de calibre. Pero cada uno es parte de un generador de indicadores, que se define como una combinación lineal de estas restricciones.

El problema fundamental aquí es que muchas personas, y también Pitts en su artículo, no tienen cuidado con la teoría de la que están hablando actualmente. "Quantization of Gauge Systems" de Henneaux y Teitelboim en realidad tiene cuidado con esto, y su capítulo 3 muestra la resolución correcta de este problema, aunque Pitts lo cita como un ejemplo para aquellos que no reconocen el problema.

La afirmación "las restricciones de primera clase generan transformaciones de calibre" está en el contexto de la acción extendida

$$S_E[q^i, p_i, \lambda^i] = \int \left(p_i \dot{q}^i - H - \lambda^i \gamma_i\right)\mathrm{d}t,$$

donde el$\gamma_i$son las restricciones de primera clase,$\lambda^i$los multiplicadores de Lagrange hacen cumplir las restricciones y, por simplicidad, asumimos que no hay restricciones de segunda clase (como es el caso en el ejemplo del electromagnetismo). En esta formulación, las soluciones a las ecuaciones de movimiento son tuplas$(q(t), p(t), \lambda(t))$, y las simetrías actúan sobre todas estas variables dinámicas. La acción extendida es invariante bajo la transformación local infinitesimal$\delta_{\epsilon} F = \epsilon^i \{F,\gamma_i\}$para$F(q,p)$cualquier función de la$q$y$p$solo si además se deja que los multiplicadores de Lagrange se transformen como

$$\delta_{\epsilon}\lambda^i = \dot{\epsilon}^i + {C^i}_{jk}\lambda^j\epsilon^k,$$

dónde$\{\gamma_i,\gamma_j\} = {C^k}_{ij}\gamma_k$. Este conjunto de simetrías se reduce a las simetrías de la acción no extendida (canónica)

$$S_C[q^i,p_i,\bar{\lambda}^i] = \int \left(p_i \dot{q}^i - H - \lambda^{i'} \gamma_{i'}\right),$$ donde el$i'$el índice ahora solo se ejecuta sobre las restricciones primarias, solo después de imponer las condiciones de calibre$\lambda^j = 0$para todos$j$dónde$\gamma_j$no es primaria. Son las simetrías de la acción canónica, no de la acción extendida, las que se traducen directamente en simetrías de la acción lagrangiana original. Las simetrías de norma residuales de esta acción son las que preservan las condiciones$\lambda^j = 0$para los no primarios, y en general son generados por un subconjunto específico de combinaciones de las restricciones de primera clase que otras fuentes llaman generadores de calibre.

Para el ejemplo concreto del que se queja Pitts, las transformaciones de calibre de la acción extendida de la electrodinámica libre son (ver también el capítulo 19 de H/T):

$$\begin{align} \delta A_0 & = \epsilon^1 & \delta A_i & = \partial_i\epsilon^2 \\ \delta \lambda^1 & = \dot{\epsilon}^1& \delta\lambda^2 & = \dot{\epsilon}^2 - \epsilon^1 \end{align}$$ para dos funciones arbitrarias del espacio-tiempo$\epsilon^1, \epsilon^2$. La preservación de la condición de calibre.$\lambda^2 = 0$impone$\epsilon^1 = \dot{\epsilon^2}$, por lo que nos quedamos con la simetría de calibre residual $$\delta A_\mu = \partial_\mu \epsilon^2 \quad \delta \lambda^1 = \ddot{\epsilon}^2,$$ que ahora tiene la forma familiar para una transformación de calibre de los 4 potenciales$A_\mu$de la electrodinámica lagrangiana.

Lo que parece hacer tropezar a la gente es que en el formalismo extendido, la cantidad$E^i = F^{0i} = \partial^0 A^i - \partial^i A^0$, que les gustaría identificar como el campo eléctrico, es una variante de calibre bajo transformaciones con$\epsilon^1 \neq \dot{\epsilon}^2$. ¿Cómo puede la teoría extendida ser "fiel" a nuestro sistema físico real si convierte cantidades de calibre invariante en variables de calibre?

Para ver cómo, inspeccionemos el cambio de$E^i$bajo una transformación arbitraria:

$$\begin{align} \delta E_i & = \partial_0 \delta A_i - \partial_i \delta A_0 \\ & = \partial_i (\dot{\epsilon}^2 - \epsilon^1) \end{align}$$ Observamos que esta es precisamente la derivada espacial del comportamiento de transformación de$\lambda^2$, entonces esto significa que$E^i - \partial^i\lambda^2$es un observable invariante de calibre, que se convierte en el invariante de calibre residual$E^i$tras el uso de la condición de calibre$\lambda^2 = 0$. Entonces, la teoría extendida contiene un observable invariante de calibre que es el campo eléctrico, es solo que su expresión contiene la variable auxiliar$\lambda^2$que tenemos que eliminar para ver si esta teoría es o no equivalente a la teoría lagrangiana que no sabe sobre el$\lambda^i$.