¿Qué hace que un campo de fuerza sea "no conservativo"?

I) En esta respuesta nos gustaría relajar la definición convencional de una fuerza conservativa para incluir, por ejemplo, la fuerza de Lorentz .

II) La definición estándar de una fuerza conservativa se da en Wikipedia (octubre de 2013) más o menos como sigue:

un campo de fuerza${\bf F}={\bf F}({\bf r})$se llama fuerza conservativa si cumple alguna de estas tres condiciones equivalentes:

1. La fuerza se puede escribir como el gradiente negativo de un potencial$U=U({\bf r})$:

   $$\tag{1} {\bf F} ~=~ - {\bf \nabla} U.$$ De manera equivalente, la condición (1) significa que la forma única$\phi:={\bf F}\cdot \mathrm{d}{\bf r}$es exacto:$\phi=-\mathrm{d}U$, donde la derivada exterior es$\mathrm{d}:=\mathrm{d}{\bf r}\cdot{\bf \nabla}$.

2. El espacio de posiciones es simplemente conexo y el rotacional de${\bf F}$es cero:

   $$\tag{2} {\bf \nabla} \times {\bf F} ~=~ {\bf 0}.$$ De manera equivalente, la condición (2) significa que la forma única$\phi:={\bf F}\cdot \mathrm{d}{\bf r}$está cerrado:$\mathrm{d}\phi=0$.

3. Hay cero trabajo neto$W$hecho por la fuerza${\bf F}$al mover una partícula a través de una curva cerrada${\rm r}: S^1 \to \mathbb{R}^3$que comienza y termina en la misma posición:

   $$\tag{3} W ~\equiv~ \oint_{S^1} \!\mathrm{d}s~ {\bf F}({\bf r}(s)) \cdot {\bf r}^{\prime}(s) ~=~ 0.$$

Destacamos que el parámetro$s$no tiene que ser tiempo real$t$. de hecho tiempo$t$no entra en condiciones (1-3) en absoluto. La curva en la condición (3) podría ser cualquier bucle virtual. En particular, la curva y su parametrización$s$en principio, no tienen que reflejar cómo una partícula puntual real viajaría a lo largo de una trayectoria a un cierto ritmo determinado por algunas ecuaciones de movimiento, y mucho menos avanzar en el tiempo.

III) Ahora recuerde que un potencial dependiente de la velocidad$U=U({\bf r},{\bf v},t)$de una fuerza${\bf F}$por definición satisface

$$\tag{4} {\bf F}~=~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}, \qquad {\bf v}~=~\dot{\bf r},$$

cf. Árbitro. 1. A continuación, defina la parte potencial de la acción como

$$\tag{5} S_{\rm pot}[{\bf r}]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \!\mathrm{d}t~U({\bf r}(t),\dot{\bf r}(t),t),$$

y tenga en cuenta que la ec. (4) se puede reescribir con la ayuda de una derivada funcional como

$$\tag{6} F_i(t)~=~-\frac{\delta S_{\rm pot}}{\delta x^i(t)}, \qquad i~\in~\{1,2,3\}.$$

Técnicamente, en este punto, necesitamos imponer condiciones de contorno pertinentes (BC) (por ejemplo, Dirichlet BC) en el tiempo inicial y final,$t_i$y$t_f$, respectivamente, para que exista la derivada funcional (6). Estos BC se asumen implícitamente a partir de ahora.

Descartamos la posibilidad de que a uno le gustaría llamar a una fuerza con dependencia temporal explícita para una fuerza conservativa. Por lo tanto, dejemos de lado la dependencia temporal explícita de ahora en adelante. Sin embargo, vea esta publicación de Phys.SE.

IV) Visto a la luz de que los potenciales dependientes de la velocidad (4) son extremadamente útiles en las formulaciones lagrangianas, es tentador generalizar la noción de una fuerza conservativa de la siguiente manera no estándar:

Un campo de fuerza dependiente de la velocidad${\bf F}={\bf F}({\bf r},{\bf v})$se llama fuerza conservativa si cumple alguna de estas tres condiciones equivalentes:

1. La fuerza se puede escribir como el gradiente funcional negativo de una acción potencial$S_{\rm pot}[{\bf r}]=\int_{t_i}^{t_f} \!\mathrm{d}t~U({\bf r}(t),\dot{\bf r}(t))$:

   $$\tag{1'} {\bf F} ~=~ -\frac{\delta S_{\rm pot}}{\delta {\bf r}} ~\equiv~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}} .$$ De manera equivalente, la condición (1') significa que la forma única$\Phi:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ F_i(t)\mathrm{d}x^i(t)$es exacta en el espacio de la ruta:$\Phi=-\mathrm{d}S_{\rm pot}$, donde la derivada exterior es$\mathrm{d}:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ \mathrm{d}x^i(t)\frac{\delta}{\delta x^i(t)}$.

2. El espacio de posiciones es simplemente conexo y la fuerza${\bf F}$satisface una condición de cierre wrt. a derivados funcionales

   $$\tag{2'} \frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~[(i,t) \longleftrightarrow (j,t^{\prime})].$$ De manera equivalente, la condición (2') significa que la forma única$\Phi:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ F_i(t)\mathrm{d}x^i(t)$es cerrado en el espacio de caminos:$\mathrm{d}\Phi=0$. Las condiciones de Helmholtz equivalentes [2] wrt. a derivadas parciales y totales leer $$\frac{\partial F_i}{\partial x^j} -\frac{1}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial F_i}{\partial v^j} ~=~[i \longleftrightarrow j], \qquad \frac{\partial F_i}{\partial v^j}~=~-[i \longleftrightarrow j].$$

3. La siguiente integral (3') sobre un ciclo de dos${\rm r}: S^2 \to \mathbb{R}^3$desaparece siempre:

   $$\tag{3'} \oint_{S^2}\!\mathrm{d}t \wedge \mathrm{d}s~ {\bf F}({\bf r}(t,s),\dot{\bf r}(t,s)) \cdot {\bf r}^{\prime}(t,s) ~=~ 0.$$

Aquí un punto y una diferenciación media prima wrt.$t$y$s$, respectivamente.

Con esta definición (1'-3') de una fuerza conservativa, entonces, por ejemplo, la fuerza de Lorentz y la fuerza de Coriolis se convierten en fuerzas conservativas, mientras que la fuerza de fricción${\bf F}=-k {\bf v}$seguirá siendo una fuerza no conservativa, cf. este y este Phys.SE responde.

Debe decirse que existen generalizaciones directas de las condiciones (1'-3'):

1. En primer lugar, se puede permitir que la fuerza${\bf F}={\bf F}({\bf r}, {\bf v}, {\bf a}, {\bf j},\ldots)$dependiendo de la aceleración, tirón , etc.

2. En segundo lugar, se puede generalizar a posiciones generalizadas $q^i$, velocidades generalizadas$\dot{q}^i$y fuerzas generalizadas$Q_i$, etc.

Finalmente, mencionemos que esta construcción (1'-3') está en espíritu relacionada con el problema inverso para la mecánica de Lagrange .

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica, Capítulo 1.

2. H. Helmholtz, Ueber die physikalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung, J. für die reine u. angewandte Matemáticas. 100 (1887) 137.

un campo de fuerza$F_i(x)$es conservativo si para toda curva$C$desde un punto$y_1$a un punto$y_2$, tenemos$\int\limits_C F_i(x)\mathrm{d}x^i$, de modo que la diferencia de energía entre$y_1$y$y_2$es independiente de la curva tomada de uno a otro. De manera equivalente, la integral alrededor de una curva cerrada debe ser cero,$\oint\limits_C F_i(x)\mathrm{d}x^i=0$por cada curva cerrada$C$. Alternativamente, requerimos$\nabla\times F=0$, para que podamos escribir$F=\nabla V$; es decir, el rotacional del campo de fuerza es cero, por lo que el campo de fuerza se puede expresar como una divergencia. Son posibles las generalizaciones de esta explicación elemental a dimensiones superiores en términos de formas diferenciales.

Aunque el comentario de Shuhao Cao de que si una teoría física es macroscópica o microscópica determinará si la teoría es conservativa es muy a menudo correcto, no obstante, las teorías microscópicas fenomenológicas pueden encontrar conveniente incluir campos de fuerza no conservativos. Por ejemplo, el efecto de un campo magnético impuesto externamente en un modelo microscópico puede ser no conservativo. (Vea el comentario de Ron a continuación, que señala que la variación de un campo magnético impuesto externamente a lo largo del tiempo puede usarse para dar un ejemplo de un campo no conservativo en 4D. La implicación de la restricción a 3D que se establece en mi primer párrafo debe eliminarse .)