Comprender las fuerzas conservativas

Estoy tratando de entender mejor las fuerzas conservadoras. Tengo una idea intuitiva decente de lo que son, pero recientemente aprendí el rigor matemático detrás de esto, lo que me ha hecho tener algunas preguntas. Esta es mi interpretación de una fuerza conservadora; no duden en corregirme si me equivoco y dónde:

• Una fuerza conservativa es una fuerza que genera$0$trabajo neto al aplicar una fuerza desde el punto$A$apuntar$B$y luego desde el punto$B$apuntar$A$. No me encanta esta definición, pero es lo que mejor puedo describir dada mi nueva comprensión de las matemáticas detrás de ella. Digamos que tienes una fuerza central$F(r) \hat r$. El trabajo realizado desde dos posiciones arbitrarias sería $$W = \int_{r_1}^{r_2} F \cdot dr$$ Para que la fuerza sea conservativa, el trabajo realizado desde esta trayectoria integral desde$r_2$a$r_1$en cambio, debe ser exactamente el mismo. Supongo que la gravedad puede ser un ejemplo aunque un poco confuso, por lo que no me gusta exactamente la definición. Porque, poniendo el suelo a$h = 0$, el trabajo realizado al subir una escalera para$h = h_1$sería exactamente la misma cantidad de trabajo realizado como si uno fuera a caer de$h= h_1$a$h=0$. La fuerza del resorte también es otro ejemplo, y creo que es porque, dado que el trabajo realizado es igual (dado que el trabajo solo se realiza en una dirección): $$W = -k\int_{-x_{max}}^{x_{max}} x \ dx$$ $$-k\int_{-x_{max}}^{x_{max}} x \ dx + k\int_{x_{max}}^{-x_{max}}x = 0$$ Así que supongo que está diciendo que si haces oscilar una partícula desde$x_{max}$hará la misma cantidad de trabajo que si lo hiciera desde$-x_{max}$. Sin embargo, esto no tiene la idea de fuerza central que exhiben las fuerzas de gravedad y electromagnéticas.

Algunas preguntas mías:

• Si el trabajo es el mismo independientemente de la trayectoria, ¿eso significa que si el resorte hizo un patrón en zig-zag mientras oscilaba (por lo que hay algún componente ortogonal de movimiento además), el trabajo neto seguiría siendo el mismo simplemente tirando de él? volver como normal?

• me siento como$\int_{r_1}^{r_2} F \cdot dr = - \int_{r_2}^{r_1} F \cdot dr$es un hecho matemático, dado que (disculpen este horrible abuso de símbolos)$\int_{r_1}^{r_2} = -\int_{r_2}^{r_1}$como regla general. ¿Por qué esto no siempre es cierto?

• Me parece notar que podemos sacar la conclusión de que una fuerza conservativa está presente si el trabajo realizado involucra una fuerza que es paralela o antiparalela a$dr$, como con la gravedad y la fuerza del resorte (intercambio$dr$con$dx$). Si$F$y el desplazamiento son paralelos, ¿puedo sacar la conclusión de una fuerza paralela en la mayoría de los casos?