¿Localmente toda fuerza admite un potencial?

Tengo una pequeña duda sobre si una fuerza es o no conservadora. Bueno, como entendí, algunas fuerzas no se pueden expresar como derivadas exteriores de algún potencial escalar porque el trabajo realizado por la fuerza depende de la trayectoria, en otras palabras, no es posible determinar el trabajo basado solo en algún valor en los puntos finales.

Pero mi pregunta es: ¿localmente toda fuerza admite algún potencial? En otras palabras, si F es un campo de fuerza definido en algún subconjunto tu ⊂ R norte , y si a ∈ tu , siempre hay alguna ϵ -barrio de a , B ϵ ( a ) tal que la restricción de F a ese B ϵ ( a ) admite potencial? Porque para mí parece que para cualquier fuerza, es posible encontrar una pequeña región en la que la "dependencia de la ruta" no interfiera tanto. ¿Es esto correcto?

Y en este caso, asumo que el espacio es plano. Si estamos trabajando con un colector curvo METRO , esta idea todavía se aplica?

Lo siento si es una tontería, es solo un pensamiento que quería confirmar.

OP podría encontrar interesante que en 1D (con un dof físico y, digamos, con fuerzas sin dependencia temporal explícita), siempre es posible encontrar localmente una formulación hamiltoniana, cf. esta respuesta Phys.SE.

Respuestas (1)

No, la mayoría de los campos de fuerza se niegan a ser conservadores. La independencia de la trayectoria es una restricción no trivial en una región del espacio arbitrariamente pequeña, una vecindad arbitraria.

Si el campo de fuerza es conservativo, debe ser

∇ × F → = 0
porque F = − ∇ Φ . Está claro que el rizo de F → puede ser distinto de cero incluso si observa un vecindario pequeño. Por ejemplo, suponga que F → = ( 0 , X , 0 ) . El rotacional de este campo es ( 0 , 0 , 1 ) . Es simplemente distinto de cero, incluso en el mismo punto ( X , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) o cualquier otro punto, para el caso. Si dibuja un área arbitrariamente pequeña d S en el X y -plano, por ejemplo, un pequeño cuadrado en el z = 0 plano, la integral de F → sobre el límite del área será distinto de cero por lo que, de manera equivalente, el trabajo será dependiente de la trayectoria. El trabajo será proporcional a d S , a saber 1 ⋅ d S en mi caso, pero esa es la escala normal.

Para hacer que el campo de fuerza "pase por alto" que no es conservativo, debe observar "regiones tan pequeñas" que las derivadas de F → son completamente invisibles. Por ejemplo, uno puede ser estricto y notar que si solo sabe F → en un solo punto, no hay obstrucción comprobable que impida F → de ser conservador. Sin embargo, una descripción más justa de la situación es que si sólo sabes F → en un punto, no puede decir si el campo es conservativo, en lugar de decir que lo es. Si el campo de fuerza fuera constante, sería conservativo. Pero para decir de manera significativa si el campo de fuerza es constante, también debe observar diferentes puntos cercanos. Y tan pronto como puedas medir algunas derivadas de F → , el rizo de F → también puede medirse y puede ser distinto de cero.

Podría discutir fuerzas que son "conservadoras dentro de algún margen de error". Por ejemplo, si F → eran casi constantes en su pequeño vecindario, habría un sentido en el que | Δ F | ≪ | F | , y siempre que esté satisfecho con la aproximación F → + Δ F → ≈ F → , se podría decir que el campo de fuerza es conservativo en esa región con la misma precisión. Pero toda esta conclusión solo surge porque tiramos al bebé con el agua del baño. Normalmente, se puede encontrar si un campo es conservativo observando pequeñas regiones del espacio. Un campo es "localmente" conservativo si ∇ × F → = 0 en los puntos cercanos. Uno no necesita saber el comportamiento del campo de fuerza en todas partes.

¿Existen realmente fuerzas no conservativas en la actualidad? ¿No es la fricción el resultado macroscópico de las fuerzas eléctricas y gravitatorias (que son ambas conservativas)? ¿No se violaría la ley de conservación de la energía en caso de que hubiera fuerzas no conservativas? gracias de antemano
Sí, en la Naturaleza real, la fricción (a la aproximación principal) puede reducirse a estadísticas de muchas interacciones que son, en última instancia, electrostáticas, es decir, conservativas. Pero la afirmación más general no es correcta. La expresión de la energía total puede ser bastante complicada y no solo pag 2 / 2 metro + V dónde V es una energía potencial. Puede haber (y en general, hay, incluso en la Naturaleza) varias funciones más complicadas y productos de coordenadas y momentos (o derivadas de coordenadas, velocidades, etc.) y cualquier forma suficientemente general de la energía significa que las fuerzas no son conservador.
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