¿Cuándo el trabajo realizado se toma negativo en electrostática?

Si un cargo$Q$se mueve desde el reposo por fuerzas externas a través de una diferencia de potencial$\Delta V=V_b-V_a$desde el punto$a$apuntar$b$y termina en reposo, entonces el trabajo neto realizado por todas las fuerzas (eléctricas y externas) será cero por el teorema trabajo-energía:

Eso significa que$W_{ext}=-Q(V_b-V_a)$. Entonces, el trabajo realizado por el campo tiene el signo opuesto al trabajo externo.

Si una carga positiva se mueve en la misma dirección que el campo eléctrico, o de mayor a menor potencial, el trabajo realizado por el campo será positivo.

Por definición, el trabajo realizado por una fuerza externa$\vec F_{\rm external}$tomando la unidad de carga positiva de la posición$a$posicionar$b$es la diferencia de potencial entre la posición$a$y posición$b$.

$V_{\rm b}-V_{\rm a}=\int_a^b \vec F_{\rm external} \cdot d\vec l$.

Entonces, si la unidad de carga positiva se mueve hacia otra carga positiva, la fuerza externa que actúa sobre la unidad de carga positiva debe dirigirse hacia la otra carga positiva, lo que significa que, en general, el producto escalar de la fuerza externa y el desplazamiento de la fuerza externa es positivo. ya que ambos van en la misma dirección.
Esto significa que la fuerza externa realiza un trabajo positivo y al moverse hacia la otra carga aumenta el potencial.

Alejándose de la otra carga positiva, el producto escalar de la fuerza externa y el desplazamiento de la fuerza externa es negativo ya que están en direcciones opuestas.
Esto significa que la fuerza externa realiza un trabajo negativo y al alejarse de la otra carga el potencial disminuye.

Ahora el campo eléctrico debido a la otra carga$\vec E$está produciendo una fuerza$\vec E$sobre la unidad de carga positiva.
Cuando la unidad de carga positiva se mueve hacia la otra carga, el trabajo realizado por la fuerza$\vec E$es negativa porque la dirección de esa fuerza se aleja de la otra carga y el desplazamiento de esa fuerza es hacia la otra carga.
Al usar la fuerza$\vec E$para definir el cambio de potencial de manera que sea consistente con la definición de fuerza externa, es necesario introducir un signo negativo para que$-\int_a^b \vec E \cdot d\vec l$es una cantidad positiva y nuevamente hay un aumento en el potencial a medida que uno se acerca a la otra carga positiva.

Así que tienes una definición alternativa para la diferencia de potencial de$V_{\rm b}-V_{\rm a}=-\int_a^b \vec E \cdot d\vec l$que es menos el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando una unidad de carga positiva se mueve entre las dos posiciones.

Alejándose de la otra carga positiva la fuerza$\vec E$y el desplazamiento tienen la misma dirección, por lo que el trabajo realizado por la fuerza$\vec E$es positivo.
Entonces, menos el trabajo realizado por el campo eléctrico es negativo, lo que significa que, como se esperaba, el potencial disminuye.