¿Cuándo el par es igual al momento de inercia por la aceleración angular?

Primero debe comprender cómo se definen el momento lineal y angular antes de poder derivar las ecuaciones de movimiento.

En general (3D) lo siguiente es cierto:

1. El momento lineal es el producto de la masa y la velocidad del centro de masa . Como la masa es un escalar, el momento lineal y la velocidad son colineales.

   $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}_{cm}$$

2. El momento angular con respecto al centro de masa es el producto de la inercia y la velocidad de rotación. La inercia es un tensor de 3 × 3 (6 componentes independientes) y, por lo tanto, el momento angular no es colineal con la velocidad de rotación

   $$\mathbf{L}_{cm} = \mathtt{I}_{cm} \,\boldsymbol{\omega}$$

3. La fuerza total que actúa sobre un cuerpo es igual a la tasa de cambio del momento lineal

   $$\mathbf{F} = \frac{{\rm d} \mathbf{p}}{{\rm d}t} = m\,\frac{{\rm d} \mathbf{v}_{cm}}{{\rm d}t} = m \, \mathbf{a}_{cm}$$

4. El momento de torsión total alrededor del centro de masa es igual a la tasa de cambio del momento angular

   $$\boldsymbol{\tau}_{cm} = \frac{{\rm d} \mathbf{L}_{cm}}{{\rm d}t} = \mathtt{I}_{cm} \, \frac{{\rm d}\boldsymbol{\omega}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d} \mathtt{I}_{cm}}{{\rm d}t} \boldsymbol{\omega} = \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\omega}$$

Debido a que el momento no es colineal con la velocidad de rotación, los componentes del tensor de inercia cambian con el tiempo visto en un marco inercial y, por lo tanto, la segunda parte de la ecuación anterior describe el cambio en la dirección del momento angular.

En su caso, la dirección de rotación es fija (normal al plano) y, por lo tanto, el momento angular se fija haciendo la ecuación anterior (todavía en forma de vector)

$$\boldsymbol{\tau}_{cm} = \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\alpha}$$ además, solo se consideran los componentes fuera del plano de la aceleración angular y el par, por lo que la ecuación anterior se reduce a una ecuación escalar $$\tau_{cm} = I_{cm} \alpha$$

El movimiento del centro de masa todavía se describe por$\mathbf{F} = m\,\mathbf{a}_{cm}$o en forma escalar

$$\begin{align} F_x & = m \ddot{x}_{cm} \\ F_y & = m \ddot{y}_{cm} \end{align}$$ Los dos movimientos son (lineal y angular) son independientes entre sí para un cuerpo libre.