Cálculo de la aceleración, etc. de un tren de engranajes con múltiples engranajes accionados

La ecuacion$\alpha = \frac {\tau}{m\,r^2}$solo es válido para un objeto puntual, o algo así como un aro donde toda la masa está en el mismo radio. Para algo como un engranaje donde parte de la masa está más cerca del punto de rotación, debe considerar los elementos de masa que están a una distancia diferente.

Normalmente lo reemplazarías con$\alpha = \frac{\tau}{I}$, dónde$I$es el momento de inercia del disco. Debido a que diferentes engranajes pueden tener diferentes momentos de inercia, no podrá abandonar el$r^2$término tan fácilmente.

Puede considerar que cada engranaje se toca a otro y que cada engranaje comparte un eje como una ecuación diferente, y todos deben resolverse simultáneamente. Si no hay solución (que no sea para$\omega = 0$), entonces no puede girar los engranajes.

Cuando los engranajes engranan, las velocidades lineales en el borde son iguales y opuestas.$v_1 = -v_2$. Cuando los engranajes comparten un eje, la rotación angular de cada uno es igual.$\omega_1 = \omega_2$. Si configura eso para su conjunto imposible, entonces encontrará que ninguna rotación distinta de cero será una solución.

Creo que seguiré adelante y responderé esta yo mismo, porque creo que lo descubrí, pero me costó mucho encontrar recursos para las preguntas que tenía. Esperemos que esto ayude a cualquier otra persona que haga un trabajo similar.

( Para esta respuesta, usaré este sistema como ejemplo. También ignoraré el hecho de que los engranajes alternan el signo, solo para que las ecuaciones sean un poco más claras) .

Lema 1: Todos los engranajes de un tren tienen los mismos valores lineales (velocidad/aceleración lineal, fuerza, etc.), mientras que todos los engranajes que comparten un eje tienen los mismos valores angulares (velocidad/aceleración angular, par, etc.).

Esto significa que para calcular la fuerza neta de un tren de engranajes, simplemente se suman los pares divididos por los radios, y para calcular el par neto en un eje, simplemente se suman los pares y las fuerzas que contribuyen de cada engranaje, multiplicado por su radio.

$$F_{NetAB}=\frac{\tau_a}{r_a}+\frac{\tau_{bc}}{r_b}\\ \tau_{NetBC}=\tau_{bc}+F_{AB}\cdot r_b+F_{DC}\cdot r_c$$

Para obtener la suma de un sistema completo, combina los dos: multiplique por el radio cada vez que cambie de un eje a un tren y divida por él cada vez que vuelva a cambiar. Tenga en cuenta que debido a que estamos analizando tanto los trenes como los ejes, tanto el par como la fuerza dependen de la marcha que elija como referencia (pero los resultados serán los mismos). Usaré A de aquí en adelante.

$$F_{Net\ (A)}=\left(\left(\frac{\tau_g}{r_g}\right)r_e\frac{1}{r_d}+\frac{\tau_d}{r_d}\right)r_c\frac{1}{r_b}+\frac{\tau_{bc}}{r_b}+\frac{\tau_a}{r_a}$$

Para encontrar la aceleración del sistema, no puede simplemente dividir por la masa, como señaló @BowlOfRed, debe convertirla en par y luego dividir por el momento total de inercia.

$$a_A=\frac{\tau_{Net}}{I_{Net}}\cdot r_a=\frac{F_{Net}\cdot r_a^2}{I_{Net}}$$

Inicialmente, esto puede parecer un problema, porque estamos multiplicando por$r_a^2$y luego dividiendo por una constante, lo que significa que dos engranajes con diferentes radios en el mismo tren acelerarán (linealmente) a diferentes velocidades. (Esto me dejó perplejo durante mucho tiempo, y aunque no me di cuenta del impacto que tuvo, fue parte de la razón por la que hice la pregunta en primer lugar). Pero resulta que,$I$no es constante para todos los miembros de un tren de engranajes. Si echas un vistazo más de cerca a la fórmula:

$$I_{Net}=I_a + \left(\frac{r_a}{r_b}\right)^2\left(I_b+I_c+\left(\frac{r_c}{r_d}\right)^2\left(I_d+I_e+\left(\frac{r_e}{r_g}\right)^2\left(I_g\right)\right)\right)$$ (Fuente)

No solo lo hace$I$cambio basado en el engranaje de referencia, pero en realidad es proporcional a la falta$r_a^2$! Los dos factores anteriores se cancelan, la aceleración lineal permanece constante y la fórmula de aceleración anterior es correcta. Una vez que haya averiguado la aceleración de la marcha de referencia, puede determinarla para todas las demás marchas usando proporciones simples y el lema 1.