Representaciones del espacio de Banach de sistemas físicos

Creo que la mayoría de los físicos modelan principalmente los sistemas físicos como una especie de espacio de Hilbert.

Los espacios de Hilbert son un subconjunto estricto de los espacios de Banach .

Preguntas:

  • ¿Pueden los sistemas físicos realmente tener topologías no compactas, como tiene un espacio de Banach?

  • ¿Alguien tiene un ejemplo de física que requiera un espacio físico que sea Banach y no Hilbert?

Si mira lo suficientemente cerca, puede asociar los espacios de Banach a prácticamente todos los sistemas físicos.

Respuestas (3)

Espacios de Sobelev (en los que la norma de una función es una suma ponderada de L pag normas de la función y sus derivadas) son espacios de Banach, y aparecen en el análisis de la EDP. Algunos físicos podrían considerar el uso de tales espacios como intrínsecamente matemática en lugar de física.

Aprendí brevemente sobre los espacios de Sobelev en una clase de análisis funcional hace años, pero no soy un experto. Me parece recordar, sin embargo, que aunque los espacios de Sobelev en general no son iguales a L 2 , siguen siendo espacios de Hilbert con alguna definición especial de producto interno... ¿quizás no todos los espacios de Sobolev y solo un subconjunto? no recuerdo exactamente...
@daaxix: solo un subconjunto. Muchos espacios de Sobelev no son de Hilbert.
Pero a menudo uno se restringe a los espacios de Sobolev W k , 2 = { ψ ∈ L 2 | D α ψ ∈ L 2  para  | α | < k } , que para todos k son hilbert!
Sí, en el caso especial pag = 2 , W k , pag es Hilbert. De lo contrario, no iirc. Para teorías con interacciones en sus lagrangianos, los poderes superiores también deben ser integrables.

La teoría de campo (clásica) vive naturalmente en espacios más generales que Hilbert (e incluso más generales que Banach). El espacio de secciones lisas de un haz de fibras es una variedad de Fréchet (si el espacio base es compacto). Si esto del paquete de fibra es nuevo para usted, puede considerar sus campos como funciones fluidas ψ : tiempo espacial → R . En la teoría de campos, quieres decir algo sobre el comportamiento de cualquier campo, por lo que estás más o menos obligado a mirar el espacio. C ∞ ( METRO ) (que no es un espacio de Hilbert ni de Banach)

pero es el C ∞ ( METRO ) ¿la estructura del espacio de todos los campos, o un espacio físico real?
También es muy interesante que el conjunto de funciones infinitamente diferenciables no es un espacio de Banach. Esto incluye funciones ilimitadas (y no integrables), sin embargo, ¿correcto?
@daaxix: puede requerir que las funciones suaves desaparezcan exponencialmente rápido en el infinito. La topología natural sobre este espacio vectorial de funciones suaves es la topología nuclear, que nunca es de Banach.
Hasta donde yo sé, hay muchas topologías útiles en C ∞ ( METRO ) (por ejemplo, convergencia uniforme en compacta de todas las derivadas parciales), pero ninguna de ellas es Banach. Tenga en cuenta que C k para finito k es un Banachspace (para compacto M?). Además, tienes razón, no hay restricciones en el comportamiento de las funciones en el infinito.
Sí, tenía en mente aplicaciones de integrales de trayectoria. Debería haber sido más claro al respecto. ¡Lo siento!

Los espacios de Hilbert se producen en todas partes donde el Lagrangiano\Hamiltoniano es cuadrático en derivadas. Si el lagrangiano no es cuadrático, los espacios de Hilbert ya no son tan convenientes. En particular, en el análisis de las ecuaciones de Navier-Stokes, se utilizan activamente los espacios de Banach (no los espacios de Hilbert).

Y el álgebra C* se usa con bastante frecuencia.
¿Qué quiere decir con "¿Pueden los sistemas físicos realmente tener topologías no compactas?"
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