Condición necesaria vs suficiente para el equilibrio termodinámico en mecánica estadística

La respuesta corta a su pregunta es 'no'. Hay estados estacionarios que no son térmicos.

Antes de comenzar, permítanme aclarar: para mí, un estado térmico es, por definición , un estado con una matriz de densidad que corresponde a uno de los conjuntos canónicos de la física estadística. Por ejemplo,

es térmico. Consulte mi respuesta a esta pregunta para obtener más información sobre esta definición. Entonces es fácil construir un estado estacionario que no sea térmico. Elegir$\rho$como cualquier otra función de$H(p,q)$. Esta definición tiene sus raíces en la idea de que el sistema evoluciona hacia un estado en el que se maximiza la entropía del sistema (restricciones de módulo relacionadas con cantidades conservadas).

Pero, supongo que lo que realmente quieres saber es: '¿Existen sistemas que no evolucionen hacia un estado térmico en tiempos prolongados?'. Allí, la respuesta es 'sí'. Sin embargo, como usted sugiere, estos sistemas no son los más comunes. Doy algunos ejemplos:

• Los sistemas integrables son (sin entrar en detalles) sistemas con tantas leyes de conservación como grados de libertad. Estas leyes de conservación impiden que el sistema evolucione a un estado térmico tradicional. En un sistema 'normal', el estado térmico se caracteriza por sus cantidades conservadas. En el conjunto microcanónico, las coordenadas termodinámicas son la energía total, el número de partículas, el volumen, etc. Si hay un número infinito (en el límite termodinámico) de cantidades conservadas, entonces se necesita un número infinito de parámetros para describir el estado de equilibrio. El sistema recuerda sus condiciones iniciales. Un ejemplo "tonto" de un sistema integrable es el gas ideal,

  $$H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} \, .$$ Para este sistema, los momentos de cada partícula se conservan de forma independiente (en lugar de$P = \sum_i p_i$para un sistema interactivo). Los sistemas integrables a menudo se consideran excepciones matemáticas, pero en realidad son bastante comunes en$1d$y se han realizado experimentalmente . La herramienta teórica de acceso aquí se llama conjunto de Gibbs generalizado.

• Los sistemas desordenados son sistemas donde la física microscópica parece aleatoria. Piense en una colección de partículas que se mueven en un paisaje potencial errático. Hay muchos mínimos locales de energía potencial y las partículas pueden quedar atrapadas allí durante mucho tiempo. El ejemplo 'canónico' de tales sistemas son los vidrios giratorios . Estos son modelos de Ising con parámetros aleatorios. También puedes investigar los fenómenos de la frustración.. El punto aquí es que hay una gran cantidad de mínimos locales de la energía del sistema. La dinámica es superlenta porque puede atascarse fácilmente durante mucho tiempo en un mínimo local (pero no global) de la energía. Tal dinámica de relajación a veces se denomina envejecimiento. Todavía es una pregunta abierta (tanto para la teoría como para los experimentos) determinar si estos sistemas se termalizan en tiempos prolongados y cómo. Una herramienta teórica genial aquí es el truco de la réplica .

• Todo el mundo sabe acerca de los sistemas cerrados. Allí se conservan la energía, el número de partículas, etc. La dinámica se describe mediante un hamiltoniano y se aplica el teorema de Liouville . Aunque el espacio de fase normalmente se confunde por completo, las condiciones iniciales nunca se olvidan realmente. Después de todo, las ecuaciones de Hamilton son reversibles. Entonces la termalización es un proceso complicado. En realidad, nunca sucede del todo en los sistemas finitos. Cuando hay un número finito de grados de libertad, se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré y el sistema finalmente regresa muy cerca de sus condiciones iniciales. Esto implica que los límites de tiempo infinito (desde las condiciones iniciales) y número infinito de partículas no se conmutan. En termodinámica ($=$número infinito de grados de libertad), la termalización solo se establece para los observables 'normales'. Si observa la densidad del espacio de fase o la energía cinética del sistema, todo se verá térmico con bastante rapidez. Sin embargo, los observables fuertemente no locales o las funciones de correlación de alto orden retendrán la memoria de las condiciones iniciales durante más tiempo. Lo que sucede es que la información sobre las condiciones iniciales se mezcla a medida que pasa el tiempo y se necesitan observables cada vez más extraños para extraerlas. Pero, estrictamente hablando, esta información siempre está ahí y el equilibrio térmico solo se alcanza asintóticamente.

• El ejemplo anterior es un poco académico. Sin embargo, puede buscar puntos fijos no térmicosdinámica. La idea aquí es preparar un sistema realmente lejos del equilibrio (pero sin ajustar ningún parámetro). Es una observación numérica que, en lugar de termalizarse directamente, la dinámica queda atrapada en un estado no térmico cuasi estacionario. Lo que sucede es que el sistema necesita mover energía y partículas (debido a las condiciones iniciales) para termalizarse. Dado que estas son cantidades conservadas, aparecen grandes flujos. Es como un estado turbulento. Sin embargo, la turbulencia no es mantenida por sumideros y fuentes de energía (como de costumbre), sino que el sistema actúa como su propio depósito y sumidero. Si el sistema es lo suficientemente grande, esto puede durar mucho tiempo. Una analogía 'tonta' sería una bañera con un agujero en el fondo. No está en equilibrio hasta que toda el agua ha salido. Sin embargo, si toma el límite termodinámico,