¿Cuáles son los axiomas exactos para definir de manera única el tensor métrico de Minkowski como un mapa bilineal?

Salvo isomorfismos , el espacio-tiempo de Minkowski es un espacio afín tetradimensional real$M^4$equipado con un producto escalar lorentziano$g$en el espacio vectorial$V^4$de traslaciones del espacio afín.

Si$V$es un espacio vectorial real de cuatro dimensiones, un producto escalar lorentziano es un mapa bilineal simétrico$g: V\times V\to \mathbb{R}$cuya forma canónica de Silvestre es$\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$.

Dado un espacio vectorial real de cuatro dimensiones$V$y una base vectorial$e_1,e_2,e_3,e_4$, existe un producto escalar lorentziano único cuya representación matricial sobre esa base es$\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$.

Por lo tanto, para fijar de manera única un producto escalar lorentziano basta con señalar una base y declarar que el producto escalar tiene la forma canónica en esa base.

Por otro lado, si tiene un producto escalar lorentziano, hay infinitas bases como las anteriores. Estas bases especiales están relacionadas entre sí a través de las transformaciones del grupo de Lorentz. (Esa es la definición del grupo de Lorentz).

Dejar$p$ser un punto en la variedad. Por medio de transformaciones de coordenadas, cualquier tensor métrico lorentziano se puede poner en la forma$\text{diag}(-+++)$en$p$por definición. Por lo tanto, sus axiomas no son suficientes para definir la métrica de Minkowski.

Hacer referencia a los componentes del tensor no funcionará, ya que cambian mucho entre diferentes sistemas de coordenadas. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, la misma métrica de Minkowski se puede escribir como$\text{diag}(-1, 1, r^2, r^2 \sin^2\theta)$. En su lugar, debemos proporcionar alguna definición que sea invariante de coordenadas, de modo que se mantenga independientemente del sistema de coordenadas particular con el que elijamos trabajar.

Una propiedad que solo cumple la métrica de Minkowski es que es la métrica plana, es decir, el tensor de Riemann asociado a su conexión Levi-Civita desaparece. Esta propiedad, si se suma a las que mencionaste, caracteriza la métrica de Minkowski de manera única.

En resumen, la métrica de Minkowski es la única métrica lorentziana plana. Nótese que esto no es suficiente para caracterizar toda la variedad como espaciotiempo de Minkowski: el espaciotiempo de Minkowski es topológicamente$\mathbb{R}^4$, pero se puede tener un espacio-tiempo plano con una topología de cuatro toros, por ejemplo (es decir, el espacio se parece al mundo de Pacman, en el que sales por un extremo y vuelves por el otro, y lo mismo ocurre con el tiempo).

Dada una forma bilineal, simétrica y no degenerada sobre el espacio tangente, expresada como$g_{μν} = g(∂_μ, ∂_ν)$, o de manera equivalente como el tensor$g = g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν$(convención de suma utilizada), donde$\{x^μ: μ = 0, 1, ..., N\}$son las coordenadas (al menos, localmente) y$∂_μ = ∂/∂x^μ$son los operadores diferenciales parciales que componen el marco tangente, imponen las siguientes condiciones adicionales expresadas en términos de las derivadas de Lie$ℒ_X$de ciertos campos vectoriales$X$:

(1) Homogeneidad:$ℒ_{∂_ρ} g = 0$, para todos$ρ = 0, 1, ..., N$,

(2) N+1-Isotropía:$ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} g = 0$, para todos$ρ, σ = 0, 1, ..., N$(sin pérdida de generalidad, puede tomar$ρ ≠ σ$o incluso$ρ < σ$); dónde$x_0 = x^0$y$x_i = -x^i$, para$i = 1, 2, ..., N$. Eso le da una isotropía espacial de buena fe con respecto a las dimensiones similares al espacio.$1, 2, ..., N$y no aceleracionosidad (a falta de un término mejor) con respecto a las combinaciones mixtas de la dimensión temporal$0$con cada una de las dimensiones espaciales.

Entonces, la métrica es una métrica de Minkowski (hasta un múltiplo constante distinto de cero), si$N > 1$.

(La métrica de Minkowski$η = η_{ρσ} dx^ρ ⊗ dx^σ$se cuela en las condiciones como la matriz diagonal constante$(+1,-1,-1,-1)$de coeficientes en$x_ρ = η_{ρσ} x^σ$. No hay escapatoria El$η$.)

Para$N = 3$y 3+1 dimensiones, los 10 vectores de mentira, en notación vectorial 3D son:

$${∂ \over ∂t},$$ $$∇ = \left({∂ \over ∂x}, {∂ \over ∂y}, {∂ \over ∂z}\right),$$ $$𝐫×∇ = \left(y {∂ \over ∂z} - z {∂ \over ∂y}, z {∂ \over ∂x} - x {∂ \over ∂z}, x {∂ \over ∂y} - y {∂ \over ∂x}\right),$$ $$t∇ + 𝐫 {∂ \over ∂t} = \left(t {∂ \over ∂x} + x {∂ \over ∂t}, t {∂ \over ∂y} + y {∂ \over ∂t}, t {∂ \over ∂z} + z {∂ \over ∂t}\right),$$ dónde$t = x^0$y$𝐫 = \left(x, y, z\right) = \left(x^1, x^2, x^3\right)$. Los cuatro conjuntos de vectores de mentira son, respectivamente, para estacionariedad , homogeneidad espacial , isotropía espacial y no aceleración . La métrica debe ser estacionaria, espacialmente homogénea, isótropa y no acelerada (a falta de un término mejor).

Primero, hacemos (1). Desde

$$ℒ_{∂_ρ} dx^μ = ∂_ρ ˩ ddx^μ + d(∂_ρ ˩ dx^μ) = ∂_μ ˩ 0 + d(δ_ρ^μ) = 0,$$ y$ℒ_{∂_ρ} g_{μν} = ∂_ρ g_{μν}$, luego usando la regla del producto para$ℒ_{∂_ρ}$, tenemos: $$0 = ℒ_{∂_ρ} g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν = \left(∂_ρ g_{μν}\right) dx^μ ⊗ dx^ν + g_{μν} (0) ⊗ dx^ν + dx^μ ⊗ (0) = ∂_ρ g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν,$$ de lo que se deduce que$∂_ρ g_{μν} = 0$o que los componentes$g_{μν}$son todos constantes.

En segundo lugar, hacemos (2). En general

$$ℒ_X dx^μ = X ˩ ddx^μ + d(X ˩ dx^μ) = ∂_μ ˩ 0 + dX^μ = dX^μ,$$ entonces para$X = x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ$, tenemos$X^μ = x_σ δ_ρ^μ - x_ρ δ_σ^μ$y por lo tanto: $$ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} dx^μ = d\left(x_σ δ_ρ^μ - x_ρ δ_σ^μ\right) = δ_ρ^μ dx_σ - δ_σ^μ dx_ρ.$$ Además, dado que los componentes$g_{μν}$son constantes, entonces tenemos$ℒ_X g_{μν} = X^ρ ∂_ρ g_{μν} = 0$, independientemente de lo que$X$es. Así, usando la regla del producto, nuevamente, tenemos: $$0 = ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} g = (0) dx^μ ⊗ dx^ν + g_{μν} \left(δ_ρ^μ dx_σ - δ_σ^μ dx_ρ\right) ⊗ dx^ν + g_{μν} dx^μ ⊗ \left(δ_ρ^ν dx_σ - δ_σ^ν dx_ρ\right),$$ o $$0 = g_{ρν} dx_σ ⊗ dx^ν - g_{σν} dx_ρ ⊗ dx^ν + g_{μρ} dx^μ ⊗ dx_σ - g_{μσ} dx^μ ⊗ dx_ρ,$$ o, por componentes, usando la simetría de$η$y (supuesta) simetría de$g$para intercambiar índices: $$0 = g_{νρ} η_{μσ} - g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} η_{νρ}.$$

Esta condición es trivial si$ρ = σ$o$μ = ν$; particularmente, si$N = 0$. Si$N = 1$, entonces sin pérdida de generalidad, podríamos tomar$(ρ,σ) = (0,1) = (μ,ν)$y escribe

$$0 = g_{10} (0) - g_{11} (-1) + g_{00} (+1) - g_{01} (0) = g_{00} + g_{11}.$$ Eso es lo mejor que puedes hacer. La métrica forma una constante simétrica sin trazas.$2×2$matriz.

Si$N > 1$, elige cualquiera$μ$,$ρ ≠ μ$y$σ = ν ≠ μ, ρ$. Entonces nosotros tenemos:

$$0 = g_{νρ} (0) - g_{νσ} (0) + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} (0) = ±g_{μρ}.$$ De este modo,$g_{μρ} ≠ 0$para$ρ ≠ μ$y$g$forma una matriz diagonal. A continuación, elija cualquiera$ρ = μ$y$σ = ν ≠ μ, ρ$. Entonces nosotros tenemos: $$0 = g_{νρ} (0) - g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} (0) = -g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ}.$$ De esto se sigue que$g_{μρ}/η_{μp} = g_{νσ}/η_{νσ}$. Por lo tanto,$g$es un múltiplo constante de la métrica de Minkowski$η$. Desde$g$se supone que no es degenerado, el múltiplo constante debe ser distinto de cero. De lo contrario, si es degenerado, el múltiplo constante es 0, y luego$g$debe ser 0 y totalmente degenerado.

Sí, eso es suficiente.

Sin embargo, para ser pedante, una métrica siempre tiene una firma definida positiva, también conocida como (+,+,+, ..,+), mientras que una semimétrica puede tener una firma arbitraria. Una variedad con una métrica se llama variedad Riemanniana, mientras que una variedad con una semimétrica se llama variedad semi-Riemanniana. A menudo se usa el calificador 'pseudo' en lugar de 'semi', pero prefiero no usarlo ya que la interpretación convencional de pseudo significa falso o falso. Una variedad lorentziana es una variedad semi-riemanniana con firma (-++++...+) o (+----...-) y esto es lo que busca. El espacio de Minkowski es simplemente una variedad lorentziana plana 4d.