Tensor métrico en relatividad especial y general

Empecemos desde el principio:

El escenario de la relatividad, ya sea especial o general, es que el espacio-tiempo es una variedad $\mathcal{M}$, es decir, algo que es localmente homeomorfo al espacio cartesiano$\mathbb{R}^n$($n = 4$en el caso de la relatividad), pero no globalmente.

Tales variedades poseen un espacio tangente $T_p\mathcal{M}$en cada punto, que es donde viven los vectores de los que se suele hablar. Si elige coordenadas$x^i$en la variedad, entonces el espacio de vectores tangentes es

$$T_p\mathcal{M} := \{\sum_{i=0}^3 c^i \frac{\partial}{\partial x^i} \lvert c^i \in \mathbb{R} \}$$

Cuando decimos que una tupel$(c^0,c^1,c^2,c^3)$es un vector, queremos decir que corresponde al objeto$c^i\partial_i \in T_p\mathcal{M}$en algún momento$p \in \mathcal{M}$.

Una métrica en$\mathcal{M}$se puede dar especificando una forma bilineal no degenerada en cada punto

$$g_p : T_p\mathcal{M} \times T_p\mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$$

Lo que aprendió "en general" es que los componentes de la métrica son, para los vectores base elegidos$\partial_i$de$T_p\mathcal{M}$, definido por$g_{ij} = g(\partial_i,\partial_j)$. Ahora puede ver la métrica como una especie de producto escalar, configurando$X \cdot Y := g(X,Y)$para dos vectores$X,Y$. (Esto contiene la respuesta a su segundo problema) Pero para variedades no riemannianas, es decir, variedades donde no todas las entradas en la métrica son positivas, este no es un producto escalar en el sentido al que puede estar acostumbrado. En particular, puede ser cero . Los vectores para los que es cero se denominan generalmente similares a la luz o nulos .

Lo importante a tener en cuenta es que las variedades no siempre se comportan como el espacio cartesiano.

Ahora, para tu tercer problema, necesitamos el concepto del espacio cotangente $T_p^*\mathcal{M}$. Es el espacio vectorial dual al espacio tangente, atravesado por las diferenciales$\mathrm{d}x^i : T_p\mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$para un sistema de coordenadas elegido, y definido por

$$\mathrm{d}x^i(\partial_j) = \delta^i_j$$

Ahora, recuerda que la métrica era un mapa del doble del espacio tangente a$\mathbb{R}$. Como tal, podemos verlo como un elemento del producto tensorial $T_p^*\mathcal{M} \otimes T_p^*\mathcal{M}$, que es el espacio ocupado por el elemento de la forma$\mathcal{d}x^i \otimes \mathcal{d}x^j$. Como la métrica es un elemento de este espacio, es ampliable en su base:

$$g = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$

donde el físico simplemente deja caer lo molesto$\otimes$firmar. Ahora, ¿qué tiene esto que ver con la distancia infinitesimal? Simplemente definimos la longitud de un camino$\gamma : [a,b] \rightarrow \mathcal{M}$estar con$\gamma'(t)$que denota el vector tangente al camino)$[1]$

$$L[\gamma] := \int_a^b \sqrt{\lvert g(\gamma'(t),\gamma'(t))\rvert}\mathrm{d}t$$

Y, al usar la notación descuidada de los físicos,$g(\gamma'(t),\gamma'(t)) = g_{ij} \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}$, si entendemos$x^i(t)$como el$i$-ésima coordenada del punto$\gamma(t)$, y entonces:

$$L[\gamma] = \int_a^b \sqrt{g_{ij} \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}$$

Desde que llamamos$\mathrm{d}s$el elemento de línea infinitesimal que cumple$L = \int \mathrm{d}s$, esto sugiere la notación

$$\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$

Si notamos que, por la definición de vectores tangentes y cotangentes por diferenciales y derivadas como arriba, las cosas con índices superiores se transforman exactamente de manera opuesta a las cosas con índices inferiores (ver también mi respuesta aquí ), se ve que esto es de hecho invariante bajo transformaciones de coordenadas arbitrarias.

$[1]$ $\gamma'(t)$es realmente un vector tangente en el siguiente sentido:

Dejar$x : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^n$ser un gráfico de coordenadas. Considere entonces:$x \circ \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$. Dado que es una función ordinaria entre (subconjuntos de) espacios cartesianos, tiene una derivada

$$(x \circ \gamma)' : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$$

Ahora,$(x \circ \gamma)'^i(t)$ser considerado como los componentes del vector tangente$\gamma'(t) := (x \circ \gamma)'^i(t)\partial_i \in T_{\gamma(t)}\mathcal{M}$. Es un ejercicio algo tedioso, pero que vale la pena, mostrar que esta definición de$\gamma'(t)$es independiente de la elección de las coordenadas$x$.

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Su pregunta de examen con las superficies está preguntando sobre algo diferente. Se le da una incrustación de una subvariedad de dimensiones inferiores$\mathcal{N}$en el espacio cartesiano

$$\sigma: \mathcal{N} \hookrightarrow \mathbb{R}^n$$

y se le pidió que calculara la métrica inducida en la subvariedad a partir de la métrica cartesiana

$$\mathrm{d}s^2 = \sum_{i = 1}^n \mathrm{d}(x^i)^2$$

(que es solo la matriz de identidad en forma de componente con cualquier base ortonormal de coordenadas en$\mathbb{R}^n$, es decir, el producto escalar)

Ahora bien, ¿cómo se induce una métrica? Dejar$y : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathcal{N}$ser las coordenadas para la subvariedad (en realidad se le da$\sigma \circ y$en la pregunta), y$x$sean las coordenadas del espacio cartesiano. Observe que cualquier morfismo de variedades$\sigma$induce un morfismo de espacios tangentes

$$\mathrm{d}\sigma_p : T_p\mathcal{N} \rightarrow T_{\sigma(p)}\mathbb{R}^n, \frac{\partial}{\partial y^i} \mapsto \sum_j \frac{\partial(\sigma \circ y)^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}$$

llamado diferencial de$\sigma$. Como morfismo de espacios vectoriales, es una función lineal dada, como matriz, por el jacobiano$\mathrm{d}\sigma^{ij} := \frac{\partial(\sigma \circ y)^j}{\partial y^i}$del morfismo de las variedades. Ahora, inducir una métrica significa establecer

$$g_\mathcal{N}(\frac{\partial}{\partial y^i},\frac{\partial}{\partial y^j}) := g_\mathrm{Euclidean}(\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^i}),\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^j}))$$

En el lado derecho está ahora el producto escalar de dos vectores ordinarios en$\mathbb{R}^n$, y como se llaman tus examenes$\vec e_{y^i}$es mi$\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^i})$. Si notas que te dan$\sigma \circ y$, entonces todo lo que necesita hacer es calcular los componentes métricos calculando$g_\mathcal{N}$como arriba para cada combinación posible de$y^i,y^j$(en 2D, afortunadamente, solo hay cuatro).

Este es mi primer problema, ya que el módulo de un vector no debería ser negativo.

Primero, si bien hay muchas propiedades útiles del álgebra lineal introductoria que debe tener en cuenta con GR, pensar en términos cartesianos con matrices definidas positivas simplemente tiene que desaparecer. Los vectores en relatividad pueden tener una norma negativa.

Aunque no se hace a menudo en la literatura, podría ser pedagógicamente útil escribir la magnitud de$\vec{x}$como$\lVert \vec{x} \rVert$en vez de$\lvert \vec{x} \rvert$, este último recuerda demasiado a la función de valor absoluto.

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Estoy un poco confundido acerca de cómo el símbolo$\cdot$se usa aqui...

Este es otro problema con la notación. Érase una vez, en un entorno no físico, me enseñaron que dos vectores$\vec{x}$y$\vec{y}$vivir en un espacio de producto interno podría calcular su producto interno,$(\vec{x}, \vec{y})$. En el caso de un producto interno muy especial, el producto escalar, podríamos calcular el valor sumando los productos por pares de los componentes de los vectores, y llamamos a este resultado$\vec{x} \cdot \vec{y}$.

En relatividad, sin embargo, nunca usamos este producto escalar cartesiano. ¹ Por lo tanto, elegimos hacer que este símbolo signifique "aplicar la métrica a los vectores":$\vec{x} \cdot \vec{y} = g(\vec{x}, \vec{y})$.

Si miras los componentes de$\vec{x}$y$\vec{y}$, la linealidad de$g$significa que se puede expresar como una matriz con componentes$g_{\mu\nu}$, dónde$g(\vec{x}, \vec{y})$se entiende que se calcula como "matriz-multiplicar el vector fila de componentes$x^\mu$con la matriz con componentes$g_{\mu\nu}$con el vector columna de componentes$y^\nu$." Usando la notación de suma implícita de Einstein, podemos escribir esto como$x^\mu g_{\mu\nu} y^\nu$, o mejor aún$g_{\mu\nu} x^\mu y^\nu$.

En realidad, debido a que tenemos una métrica, tenemos un espacio dual natural para nuestro espacio vectorial. Para cualquier$\vec{x}$, existe un único mapa lineal$\tilde{x}$en el espacio vectorial tal que$\tilde{x}(\vec{y}) = g(\vec{x}, \vec{y})$para todos los vectores$\vec{y}$. De este modo "$\vec{x} \cdot \vec{y}$" puede interpretarse como la habitual "suma de los resultados de la multiplicación por componentes" siempre que se entienda que estamos tomando las componentes del vector dual$\tilde{x}$junto con los del vector normal$\vec{y}$(y que la base para el espacio dual es el uso dual del espacio vectorial original).

Si la métrica es cartesiana, entonces la representación de la matriz es la matriz de identidad, por lo que la primera interpretación de la notación se reduce al producto escalar estándar de no pensar demasiado. En el lenguaje de los espacios duales, una métrica cartesiana induce un mapa trivial de los vectores a sus duales: los componentes siguen siendo los mismos. Por lo tanto, uno ni siquiera lleva la cuenta de si tomamos componentes de$\vec{x}$o$\tilde{x}$.

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Mi tercer problema es que no estoy seguro de dónde está la ecuación$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta$viene de.

Hay mucha geometría diferencial profunda detrás de esta declaración, y solo daré un breve vistazo a ella. Para cada índice$\mu$,$x^\mu$es un campo escalar en su variedad de espacio-tiempo. El operador derivado exterior$\mathrm{d}$convierte los escalares en vectores duales (entre otras cosas) y, en este caso especial, es realmente el conocido operador de gradiente.

Considere un punto en el espacio-tiempo. En este punto, sus coordenadas inducen derivadas direccionales$\partial/\partial x^\mu = \partial_\mu$, y estos pueden tomarse como base para los vectores en ese punto. De hecho, el espacio dual tiene como base correspondiente los gradientes$\mathrm{d}x^\mu$. ²

Por la definición de la base dual, sabemos que$\mathrm{d}x^\mu(\partial_\nu) = \delta^\mu_\nu$. Considere un vector$\vec{V} = V^\alpha \partial_\alpha$. Sabemos$\mathrm{d}x^\mu(\vec{V}) = V^\alpha \mathrm{d}x^\mu(\partial_\alpha) = V^\alpha \delta^\mu_\alpha = V^\mu$. (La primera igualdad proviene de la linealidad de$\mathrm{d}x^\mu$; véase también la nota al pie ² ). Por lo tanto, en cualquier base fija,

$$g(\vec{V}, \vec{W}) = g_{\alpha\beta} V^\alpha W^\beta = g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha(\vec{V}) \mathrm{d}x^\beta(\vec{W}) = g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \otimes \mathrm{d}x^\beta (\vec{V}, \vec{W}).$$

El símbolo único e indivisible"$ds^2$" es solo una abreviatura para el tensor$g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \otimes \mathrm{d}x^\beta$(a menudo escrito sin el símbolo explícito del producto). Entonces, de una manera muy indirecta, esa es su definición. Y es tan invariante en coordenadas como el producto interno$g$.

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¹ Tenga en cuenta que algunos textos intentarán usarlo, al agregar factores de$i$en varios lugares para obtener los signos negativos deseados cuando dos$i$es multiplicar. Esta es una mala práctica y falla miserablemente cuando se pasa de SR a GR.

² Posible punto de confusión:$\mu$en este párrafo solo se indexan diferentes coordenadas, no componentes de vectores o vectores duales. Además, se han suprimido las flechas y las tildes. De este modo$\partial_\mu$es vector completo para cualquier$\mu$, con componentes$\partial_\mu^\alpha$indexado por$\alpha$. Similarmente,$\mathrm{d}x^\mu$es un vector dual, y sus componentes en alguna base entendida serían$\mathrm{d}x^\mu_\alpha$.