¿Cómo conectar la Relatividad Especial (SR) de Einstein con la Relatividad General (GR)?

La conexión entre la relatividad general y la relatividad especial es fundamental. El principio de equivalencia dice que en un sistema de coordenadas de caída libre local, se eliminan los efectos de la gravedad. Esto quiere decir que en un sistema de coordenadas local en caída libre el tensor métrico es el de la relatividad especial. Entonces, muy cerca de un evento (es decir, en una vecindad finita), las ecuaciones de la relatividad general son las mismas que sr. Entonces, la estructura local del espacio-tiempo es minkowskiana. GR se trata de la forma en que se ensamblan los gráficos locales sr para formar la estructura global curva de Riemann del espacio-tiempo. Por eso existen las transformaciones locales de lorentz, que actúan localmente en la variedad espacio-temporal. Las ecuaciones de campo GR relacionan la estructura local (sr cerca de un evento) con la estructura global por medio de la conexión afín y la conexión de espín. GRAMO' El tensor métrico es el tensor de minkowski localmente. (Principio de equivalencia fuerte)

¿Qué es el diferencial GR?$ds2$?

En SR, el intervalo entre dos eventos se puede encontrar tomando diferencias finitas:

$s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2$

Pero también tenemos:

$s^2 = c^2 \tau^2$para$s^2 > 0$

$\tau$es el tiempo propio, es decir, el tiempo transcurrido a lo largo de una línea de tiempo recta (no acelerada) que conecta los eventos.

Sin embargo, si desea encontrar el tiempo transcurrido a lo largo de una línea de tiempo curva (acelerada) entre eventos, debe integrar el intervalo diferencial a lo largo de la línea de tiempo:

$c \tau = \int_P^Q ds$

$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

En GR, no solo debemos usar el intervalo diferencial (elemento de línea), también debemos considerar que el elemento de línea varía de un evento a otro:

$ds^2 = g_{00}(dx^0)^2 + g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 + g_{33}(dx^3)^2 + 2g_{01}dx^0 dx^1 + 2g_{02}dx^0 dx^2 + 2g_{03}dx^0 dx^3 + 2g_{12}dx^1 dx^2 + 2g_{13}dx^1 dx^3 + 2g_{23}dx^2 dx^3$

Lo cual, usando la convención de sumatoria, se escribe mucho más fácilmente como:

$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$

El$g_{\mu\nu}$son, en general, funciones de las coordenadas espacio-temporales$x^{\mu}$

Cuando s es constante$ds^2=0$, no es verdad

Estás pensando en derivado aquí en lugar de diferencial . En este contexto, estamos interesados ​​en encontrar el equivalente espaciotemporal de la longitud en el espacio a lo largo de un camino. Piense en la longitud del arco en su lugar.

No es posible explicar GR como una expansión de SR, o al menos no de una manera útil. Eso es porque los principios fundamentales de GR son diferentes a SR.

Sin embargo, lo que puede hacer es mostrar que SR es un subconjunto de GR, es decir, que GR se reduce a SR cuando la densidad de energía es baja. Esto se explica en Reducción de la relatividad general a la relatividad especial en caso límite