¿Cómo la curvatura y la intensidad de campo son exactamente iguales?

Simplemente, el tensor de intensidad de campo de un Yang-Mills no abeliano dice lo siguiente:

$$F_{\mu\nu} \equiv \left[ \mathcal{D}_\mu, \mathcal{D}_\nu \right]$$ dónde $\mathcal{D}_\mu$es la derivada covariante con respecto al potencial de una forma, $A_\mu \equiv A_\mu^i T_i$, y $T$son los generadores del grupo de Lie en sujeto, mientras que en gravedad el tensor de curvatura de Riemann se lee como: $$R_{\mu\nu} \equiv \left[ \nabla_\mu, \nabla_\nu \right]$$ dónde $\nabla_\mu$es la derivada covariante con respecto a la conexión, $\omega_\mu \equiv \omega_{\mu} {}^a {}_b \Lambda_a^b$, y $\Lambda$es el generador del grupo asociado al fibrado principal (el grupo es el grupo lineal general, $GL(\mathbb{R}^m)$en el caso afín). Por cierto aquí, $R_{\mu \nu} \equiv R_{\mu\nu} {}^a {}_b \Lambda_a^b$es el tensor de Riemann (que no debe confundirse con el tensor de Ricci).

De hecho, el tensor de torsión también es lo mismo pero para la forma de soldadura:

$$T_{\mu\nu} \equiv \left[ D_\mu, D_\nu \right]$$ dónde $D_\mu$es la derivada covariante con respecto al campo de la tétrada (vielbein, soldadura), $\theta_\mu \equiv \theta_{\mu}^a P_a$, y $P$es el generador de traslación (es decir, cuatro impulsos).

Como puede ver, son exactamente lo mismo, es decir, el conmutador de la derivada covariante, excepto por el hecho de que viven con un grupo diferente. Pero el mismo objeto matemático.

En electromagnetismo, el grupo de calibre es$\text{U}(1)$, cuyo álgebra de Lie se puede identificar con$i\mathbb R$, p.ej. el conjunto de todos los números imaginarios.

La conexión del calibre$\mathcal A$es un$i\mathbb R$-valorado en 1 forma, por lo que podemos escribirlo como

$$\mathcal A=iqA,$$ dónde $q$es una constante de acoplamiento (carga), y $A$ahora es una forma ordinaria de 1.

Calculando la curvatura, obtenemos

$$\mathcal F=\mathrm d\mathcal A+\mathcal A\wedge\mathcal A=\mathrm d\mathcal A=iq\mathrm dA=iq F,$$ dónde $F$es la intensidad de campo habitual. Como se puede ver, $F$es una forma 2 de valor real, mientras que $\mathcal F$es un imaginario, por lo tanto $\mathfrak u(1)\simeq i\mathbb R$-valorado en 2 formas.

Esto responde a la pregunta en los comentarios.

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Sin embargo, me gustaría señalar que la curvatura del espacio-tiempo y la intensidad del campo de Yang-Mills no son "absolutamente iguales". Son objetos de un tipo similar, pero la curvatura del espacio-tiempo es la curvatura de la conexión Levi-Civita en$F(M)$(o$O(M)$, o$TM$, como le gustaría) y la intensidad de campo de Yang Mills es proporcional a la curvatura de una conexión en un principal$\text{SU}(N)$manojo.

No he visto el video pero...

Las diferencias físicas en la realidad clásica son tan importantes como las similitudes matemáticas.

La curvatura del espacio-tiempo NO es un campo de fuerza, como en el electromagnetismo. El símbolo de Christoffel, o coeficiente de conexión, crea fuerza sobre las partículas de prueba en la teoría clásica. Esto siempre ha sido un problema y una de las cosas que llevan a los primeros intentos de unificación para agregar campos a la métrica. Coincidentemente, los términos de conexión adicionales se transforman como un tensor de curvatura.

La mecánica cuántica es, para bien o para mal, algo que le hacemos a un sistema clásico (con la posible excepción del espín no relativista, pero en la teoría de Dirac y en QFT el campo se ve como una estructura clásica en la variedad). Hay más diferencias para discutir, pero creo que esta es la más grande. La naturaleza misma de la fuerza es diferente a un nivel clásico (y empírico).

En cuanto a que EM es abeliano, esto se debe a la naturaleza de la simetría de calibre, U(1) es un grupo abeliano, SU(2), SU(3), etc. son grupos no abelianos. El hecho de que la curvatura sea un tensor no significa que no sea valorada en álgebra de mentira (lo es). Lleva 2 índices de espacio-tiempo y dos índices de álgebra de mentiras. Para U(1) los índices internos son triviales. La acción del grupo está en un "grado de libertad interno" como carga, fase, iso-spin, etc. Esa característica no interfiere en la forma de ver la similitud. En GR, los "índices internos" son direcciones espacio-temporales o direcciones vielbien en el espacio tangente local en cada punto de la variedad.

Para unificar GR y SM, los investigadores han estado tratando de sacar provecho de cualquier similitud que puedan encontrar (y este es un movimiento inteligente, no está inventado), pero para aceptar realmente esto, es necesario cambiar la forma en que vemos F = ma en GR.

Otra diferencia es que la acción del campo es de primer orden en la curvatura, mientras que las teorías de calibre son de segundo orden, nuevamente para la teoría clásica de primer orden R --> Conexión de segundo orden, que es el campo de fuerza. Una teoría GR de orden superior haría que las cosas se parecieran más pero produciría nuevos problemas.

La curvatura en GR produce un gradiente de fuerza dF/dx, que se relaciona con las perturbaciones en el movimiento orbital de las partículas de prueba.