¿Cuáles son las primeras pruebas conocidas de que los planímetros 'funcionan'?

El uso de planímetros para ilustrar el teorema de Green es un desarrollo didáctico relativamente reciente. Ni Green, ni Cauchy, ni Riemann tenían ningún interés en los instrumentos, y viceversa, los desarrolladores de planímetros no involucraron algo tan abstracto para explicar matemáticamente su "principio".

Los tipos de pruebas matemáticas dadas se pueden ver en los integradores mecánicos de Shaw, incluidas las diversas formas de planímetros (1886) . No eran formales, pero no hubo pruebas antes de que se introdujeran las matemáticas formales a fines del siglo XIX. La idea era reducir directamente los movimientos de las ruedas a lo que ahora llamaríamos una suma de Riemann. Uno encuentra pruebas del mismo tipo en los libros de texto modernos. Shaw parece tomar a Amsler como su principal fuente de matemáticas. Amsler fue un matemático suizo que inventó el planímetro polar en 1854 y probablemente estaba familiarizado con el trabajo de Gauss sobre geometría diferencial de sus estudios en Königsberg en 1840-s. Shaw le atribuye explícitamente la extensión de la idea a superficies no planas:

" Como el planímetro de Amsler solo, según el conocimiento del autor, ha sido modificado para medir el área de cualquier superficie no desarrollable, esta modificación puede notarse aquí... La teoría de la acción de este instrumento ha sido completamente explicada por el profesor Amsler, en un artículo en el que se discute la teoría de las relaciones entre la medición sobre una superficie esférica y sobre una superficie plana .

Pero las pruebas planares más básicas son ciertamente más antiguas. Maxwell se aventuró a construir su propio planímetro ("platómetro", como lo llamó en honor a Sang) después de verlos exhibidos en la Gran Exposición de 1851 en el Crystal Palace de Londres, lo que generalmente les dio protagonismo. En Descripción de una nueva forma de platometro, un instrumento para medir las áreas de figuras planas (1855), señala que " se encontrará una exposición muy capaz del principio de tales instrumentos en el artículo sobre Planímetros en los Informes de los Jurados de la Gran Exposición, 1851 ”, y da un argumento geométrico presumiblemente inspirado en él. Aquí hay un extracto:

" Por lo tanto, si tenemos una máquina con un índice de cualquier tipo, que, mientras la línea generadora se mueve una pulgada hacia abajo, avanza tantos grados como pulgadas tiene la línea generadora, y si la línea generadora se mueve alternativamente una pulgada y alterado en longitud, el índice marcará el número de pulgadas cuadradas barridas durante toda la operación. Por el método ordinario de los límites, se puede demostrar que, si estos cambios se hacen continuos en lugar de repentinos, el índice todavía medirá el área de la curva trazada por el extremo de la línea generadora ” .

Las publicaciones anteriores de los inventores originales son difíciles de rastrear, pero uno puede esperar allí argumentos del mismo tipo, tal vez sin mencionar límites. El más antiguo que se conoce es el de Gonella de la Universidad de Florencia, quien reinventó un planímetro de rueda y cono en 1824 y lo publicó casi de inmediato. También se le ocurrió rápidamente el diseño de rueda y disco, que fue el que presentó en la Gran Exposición de 1851.

Hermann, un agrimensor de Munich, que inventó el primer planímetro conocido en 1814, no solo no publicó nada, sino que incluso lo usó solo en privado. Se describe por primera vez en Zur Geschichete der Planimeter (1855) de Bauernfeind, publicado en Dingler's Polytechnische Journal . Podría haber habido invenciones privadas anteriores, ahora perdidas, y la reinvención independiente continuó hasta 1851, cuando Sang inventó su platómetro, ver Care, ilustrando la historia del planímetro .