ayuda transformada de fourier

Hay un truco importante para resolver este tipo de problemas. Si tiene un par de transformación estándar y simplemente intercambia las variables$t$y$\omega$, entonces puede usar su tabla si sabe lo siguiente:

$$\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)\Longrightarrow\mathcal{F}\{F(t)\}=2\pi f(-\omega)\tag{1}$$

Esto es consecuencia del hecho de que la transformada de Fourier y la transformada inversa son esencialmente idénticas, excepto por el factor$2\pi$y un signo menos en el exponente. Esto es exactamente lo que ves en (1): obtienes un factor de$2\pi$y tienes que invertir la variable de frecuencia$\omega$.

Entonces, en su caso, el par de transformación estándar es

$$\mathcal{F}\{e^{-t}u(t)\}=\frac{1}{1+j\omega}$$

de donde obtienes usando (1)

$$\mathcal{F}\left\{\frac{1}{1+jt}\right\}=2\pi e^{\omega}u(-\omega)\tag{2}$$

PD: El error en tus cálculos está en la última derivada. Calculas la derivada como si consideraras la función$e^{-\omega}$en lugar de$e^{-|\omega|}$. La derivada correcta es

$$\pi\text{sign}(\omega)e^{-|\omega|}$$

que da la respuesta

$$X(\omega)=\pi e^{-|\omega|}(1-\text{sign}(\omega))=2\pi e^{-|\omega|}u(-\omega)=2\pi e^{\omega}u(-\omega)$$

que es, por supuesto, idéntico a (2).

Tu error está en el último paso: la derivada de$e^{-|w|}$es diferente a lo que calculaste. La (creo) respuesta correcta es como se muestra aquí

Como no estoy totalmente seguro, simplemente expanda su ecuación con j en lugar de todo el término conjugado. Esto conducirá más rápido al resultado.