¿Qué tiene que ver la transformada de Fourier con el calor?

Por ejemplo, la versión actual del artículo de análisis de Fourier en Wikipedia dice que el estudio es:

[…] lleva el nombre de Joseph Fourier, quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor.

Y como se menciona en, por ejemplo, Origen de la transformada de Fourier (1878) , el libro citado a menudo re. La serie de Fourier tiene un título que se traduce como Teoría Analítica del Calor .

Pero no veo ningún seno o coseno en la ecuación de calor (que parece bastante simple) .

Hoy en día parece que las técnicas basadas en el trabajo de Fourier son particularmente famosas por su uso en el procesamiento digital de señales, en el que las FFT/DFT se suelen aplicar a series de datos que están directamente relacionadas con ondas sinusoidales. Cuando pienso en las transformadas de Fourier, pienso en analizar datos que están llenos de señales y ruido y cambios rápidos en los niveles, no algo así como un punto caliente que se promedia lentamente a través de un trozo de metal.

Aquí hay otra pregunta relacionada: ¿ Cuáles son algunas buenas referencias que aclaran el descubrimiento/creación de la Serie de Fourier? , pero como eso pidió referencias , las respuestas no se enfocan en responder específicamente a esta pregunta per se, y de alguna manera podrían considerarse respuestas de solo enlace en relación con esta pregunta.

Es la misma relación que entre un sistema de EDO lineal de primer orden y los vectores propios de la matriz del sistema: en la base propia la EDO se reduce a un sistema algebraico. Desde la perspectiva moderna (es decir, en retrospectiva), en cualquier problema que implique un operador lineal uno debería "ver" o buscar automáticamente sus vectores propios. Los senos y los cosenos son las funciones propias de la segunda derivada, por lo que reducen la resolución de la ecuación de calor 1D a la resolución de una EDO (trivial). Se obtiene la serie de Fourier para problemas en intervalos acotados y la transformada de Fourier en toda la línea real.
... y, agregando al comentario de @Conifold, la "separación de variables" en PDE es un gadget maravilloso, cuando está disponible.
Asegúrese de notar la distinción entre series de Fourier y transformadas de Fourier . Las series de Fourier aparecen de forma natural al resolver la ecuación del calor por separación de variables, lo que, en sentido directo, es la respuesta a la pregunta. Si resuelves la ecuación del calor, la respuesta es una combinación lineal de senos y cosenos. En cuanto al camino de Fourier hacia los senos y cosenos, tendré que dejarlo en manos de otra persona.

Respuestas (1)

No para evitar que otros proporcionen una mejor respuesta de fuentes más interesantes, pero creo que se puede encontrar una pista en la versión actual del artículo de Wikipedia para el propio Joseph Fourier:

Hubo tres contribuciones importantes en este trabajo [ie The Analytic Theory of Heat ], una puramente matemática, dos esencialmente físicas. En matemáticas, Fourier afirmó que cualquier función de una variable, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos de múltiplos de la variable. Aunque este resultado no es correcto sin condiciones adicionales, la observación de Fourier de que algunas funciones discontinuas son la suma de series infinitas fue un gran avance. […]

Simplificando aún más y agregando énfasis: " cualquier función se puede expandir en una serie de senos". Entonces, aunque la transferencia de calor no parezca muy "ondulatoria", las funciones que la representan aún podrían analizarse en términos de series trigonométricas. Y tal vez hacerlo fue útil para encontrar o analizar soluciones de la ecuación diferencial subyacente.

Cabe señalar que Fourier se equivocó al afirmar que toda función puede descomponerse en seno y coseno. Una pequeña porción sí pero no la entera. Una función relacionada con el calor es una función que se puede descomponer. Se pone a cero rápidamente en ambos lados.
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