¿Cuál es la simetría asociada con la ley de conservación del número de partículas locales para un fluido?

El teorema de Noether en su forma usual asume que el sistema (en este caso un fluido) está gobernado por un principio de acción. Suponemos por simplicidad que el fluido consta de un solo tipo de partículas de fluido.

I) En la imagen del fluido lagrangiano , la conservación (local) de las partículas del fluido se manifiesta desde el principio, ya que las variables dinámicas son las etiquetas${\bf a}$de las partículas del fluido.

Supondremos que las etiquetas se eligen de tal manera que la densidad de masa en la etiqueta${\bf a}$-espacio (en oposición a la posición${\bf r}$-espacio) es una constante. Entonces la conservación de partículas es lo mismo que la conservación de masa.

$$\tag{1} \frac{D\rho }{Dt} +\rho {\bf \nabla} \cdot {\bf u} ~\equiv~ \frac{\partial \rho }{\partial t} + {\bf \nabla} \cdot (\rho {\bf u})~=~ 0.$$

II) En la imagen del fluido euleriano , la densidad de masa$\rho$es un campo dinámico. La conservación de la masa (1) viene impuesta por la ecuación de Euler-Lagrange para la variable no apareada$\phi$en el potencial de velocidad de Clebsch

$$\tag{2} {\bf u}~=~{\bf \nabla}\phi +\ldots.$$

La simetría global correspondiente es$\phi \to \phi+ \text{const}.$

Referencias:

1. R. Salmon, Mecánica de fluidos hamiltoniana, Ann. Líquido Rev. mecánico (1988) 225 . El archivo pdf se puede descargar de la página web del autor .

No creo que debas pensar en la conservación de partículas como una ley de conservación en el contexto de la física clásica. Como dice Qmechanic en un sistema clásico, el número de partículas es el número de grados de libertad y se fija como una definición del problema. Una vez que hemos decidido cuántas partículas habrá allí, podemos escribir un Lagrangiano, investigar sus simetrías y encontrar cargas conservadas.

En el caso de la dinámica de fluidos hay un número infinito de partículas. La densidad que toma el lugar del número de partículas es una cantidad termodinámica. Su dinámica (y las leyes de conservación asociadas) se fija entonces mediante la elección de la ecuación de estado. Podríamos imaginar un fluido compuesto por partículas que se desintegran cuando entran en estrecho contacto. Luego, aumentar la densidad causaría más desintegración, lo que a su vez reduciría la densidad nuevamente. La ecuación de estado (de equilibrio) prohibiría las altas densidades y la ecuación de continuidad tendría un término de pérdida adicional.

La hidrodinámica es básicamente una lista de leyes de conservación. Sin embargo, no sabe de dónde vienen. Para escribir ecuaciones de flujo hidrodinámico asumimos que hay una termodinámica subyacentesistema de partículas y que es descrito por algún hamiltoniano. Sin embargo, cada elemento fluido está en equilibrio térmico, de modo que hay infinitos grados de libertad que no están descritos por las ecuaciones hidrodinámicas y pueden absorber (o emitir) energía, impulso y (si cocina un ejemplo apropiado) partículas. Ese es el origen de la viscosidad y la razón por la que necesitamos una ecuación de estado adicional para cerrar las ecuaciones hidrodinámicas. Entonces sabemos que la energía y el momento se conservan (porque hay un hamiltoniano subyacente y controlamos las fuerzas aplicadas al sistema externamente) de modo que podemos simplemente escribir las leyes de conservación en términos de las cantidades termodinámicas: densidad, velocidad promedio local, etc.

Sin embargo, la situación es diferente en la teoría cuántica de campos. Allí, la partícula se puede convertir en energía y viceversa, y consideramos sistemas en los que el número de partículas no es fijo. En este caso hay una simetría que genera conservación de partículas: rotaciones de fase globales. En física cuántica los grados de libertad son números complejos. Sin embargo, su fase general no es observable físicamente y no afecta la dinámica. Si todos los objetos de la teoría se multiplican por el mismo número complejo de módulo igual a uno, el Lagrangiano no se ve afectado. Tenemos una simetría y la ley de conservación correspondiente es la conservación de partículas (o conservación de carga si las partículas están cargadas).

Tenga en cuenta que no he leído 'R. Salmon, Mecánica de fluidos hamiltoniana, Ann. Líquido Rev. mecánico (1988) 225'. (Vea la respuesta de Qmechanic). No sé si (y cómo) es posible escribir un hamiltoniano para la dinámica de fluidos ni si produce leyes de conservación. Sin embargo, incluso si esto es posible, prefiero pensar en la hidrodinámica como una teoría fenomenológica que se "adivina" escribiendo leyes de conservación.