Simetría de un hamiltoniano cuántico.

Una simetría cuántica no necesariamente preserva las relaciones de conmutación del álgebra de operadores del sistema. Permítanme referirlos al libro de Klaas Landsman: Fundamentos de la teoría cuántica (Hay una versión descargable en researchgate) - capítulo 9 página 334, definición 9.2 (Simetría de Wigner)

Esta definición se puede reformular de la siguiente manera:

Una simetría de Wigner es una biyección continua del espacio de estado puro que conserva las probabilidades de transición.

(Landsman da un total de 6 (casi equivalentes) definiciones de simetría, cada una enfatiza otro aspecto de la teoría cuántica).

Elaboraré el caso de la simetría de paridad de un espín$\frac{1}{2}$sistema Un estado puro de un pin-$\frac{1}{2}$El sistema se puede representar mediante una matriz de densidad que también es un proyector:

$$\rho = \frac{1}{2}(1 + \sum_i x^i \sigma_i)$$ Con: $\sum_i x_i^2 = 1$. La última condición asegura que la matriz de densidad sea un proyector: $\det \rho = 0$.

Dado que el operador de paridad invierte el signo de las matrices de Pauli$\sigma_i \rightarrow {\sigma}'_i = -\sigma_i$, actúa sobre los estados puros como:

$$\rho \rightarrow \rho' = \frac{1}{2}(1 - \sum_i x^i \sigma_i)$$

preservando las expectativas:

$$\mathrm{tr}( \rho \sigma_i) = \mathrm{tr} ( \rho' {\sigma_i}').$$

Dados dos estados puros$\rho_x = \frac{1}{2}(1 + \sum_i x^i \sigma_i)$y$\rho_y = \frac{1}{2}(1 + \sum_i y^i \sigma_i)$. Su probabilidad de transición se puede escribir como:

$$\tau(\rho_x, \rho_y) = \mathrm{tr}( \rho_x\rho_y)$$ En nuestro caso tenemos $$\tau({\rho}'_x, {\rho}'_y) = \mathrm{tr}( \frac{1}{2}(1 - \sum_i x^i \sigma_i) \times \frac{1}{2}(1 - \sum_i y^i \sigma_i) )= \frac{1}{2}(1+\sum_ix^iy^i) = \mathrm{tr}( \rho_x\rho_y) =\tau(\rho_x, \rho_y)$$ Así la paridad es una simetría.