¿Cómo son posibles los anyons? (otra version)

Sé que esta pregunta ha sido enviada varias veces (especialmente ver ¿Cómo son posibles los anyons? ), incluso como un subproducto de otras preguntas, ya que no encontré ninguna respuesta completamente satisfactoria, aquí presento otra versión de la pregunta, expresada en un forma muy precisa utilizando sólo supuestos generales muy elementales de la física cuántica . En particular no utilizaré ningún operador (indicado por$P$en otras versiones) representando el intercambio de partículas.

Suponga que se trata de un sistema de un par de partículas idénticas, cada una moviéndose en$R^2$. Despreciando por el momento el hecho de que las partículas son indistinguibles, partimos del espacio de Hilbert$L^2(R^2)\otimes L^2(R^2)$, que es isomorfo a$L^2(R^2\times R^2)$. Ahora divido el resto de mi problema en varios pasos elementales.

(1) Cada elemento$\psi \in L^2(R^2\times R^2)$con$||\psi||=1$define un estado del sistema, donde$|| \cdot||$es el$L^2$norma.

(2) Cada elemento de la clase$\{e^{i\alpha}\psi\:|\; \psi\}$por$\psi \in L^2(R^2\times R^2)$con$||\psi||=1$define el mismo estado, y un estado es un conjunto de vectores.

(3) cada uno$\psi$como arriba se puede ver como una función de valor complejo definida, hasta cero (Lebesgue) conjuntos de medidas, en$R^2\times R^2$.

(4) Ahora considere el "estado intercambiado" definido (debido a (1)) por$\psi' \in L^2(R^2\times R^2)$por la función (hasta un conjunto de medida cero):

$$\psi'(x,y) := \psi(y,x)\:,\quad (x,y) \in R^2\times R^2$$

(5) El significado físico del estado representado por$\psi'$es la de una forma obtenida del estado$\psi$con el papel de las dos partículas intercambiadas.

(6) Como las partículas son idénticas, el estado representado por$\psi'$debe ser el mismo que el representado por$\psi$.

(7) En vista de (1) y (2) debe ser:

$$\psi' = e^{i a} \psi\quad \mbox{for some constant $a\in R$.}$$

Aquí la física se detiene. De ahora en adelante solo usaré matemáticas.

(8) En vista de (3) uno puede reescribir de manera equivalente la identidad anterior como

$$\psi(y,x) = e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [1]\:.$$

(9) Desde$(x,y)$en [1] es cada par de puntos hasta un conjunto de medida cero, se me permite cambiar sus nombres obteniendo

$$\psi(x,y) = e^{ia}\psi(y,x) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [2]$$
(Observe que el conjunto de medida cero donde falla la identidad sigue siendo un conjunto de medida cero bajo la reflexión $(x,y) \mapsto (y,x)$, ya que es una isometría de $R^4$y la medida de Lebesgues es invariante bajo isometrías).

(10) Dado que, de nuevo, [2] se cumple casi en todas partes para cada par$(x,y)$, puedo usar nuevamente [1] en el lado derecho de [2] obteniendo:

$$\psi(x,y) = e^{ia}e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\:.$$
(Esto ciertamente es cierto fuera de la unión del conjunto de medida cero $A$donde [1] falla y el obtenido por reflexión $(x,y) \mapsto (y,x)$de $A$sí mismo.)

(11) Conclusión:

$$[e^{2ia} -1] \psi(x,y)=0 \qquad\mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [3]$$

Ya que$||\psi|| \neq 0$,$\psi$no puede desaparecer por todas partes en$R^2\times R^2$. Si$\psi(x_0,y_0) \neq 0$,$[e^{2ia} -1] \psi(x_0,y_0)=0$implica$e^{2ia} =1$y entonces:

$$e^{ia} = \pm 1\:.$$

Y por lo tanto, aparentemente, no se permiten anyons.

¿Dónde está el error?

COMENTARIO AÑADIDO. (10) es un resultado completamente matemático. Aquí hay otra forma de obtenerlo. (8) se puede escribir como$\psi(a,b) = e^{ic} \psi(b,a)$para algunos fijos $c \in R$y todo $(a,b) \in R^2 \times R^2$(No tengo en cuenta el tema de los conjuntos despreciables). elegir primero$(a,b)=(x,y)$y entonces$(a,b)=(y,x)$obtenemos resp.$\psi(x,y) = e^{ic} \psi(y,x)$y$\psi(y,x) = e^{ic} \psi(x,y)$. Inmediatamente producen [3]$\psi(x,y) = e^{i2c} \psi(x,y)$.

Entonces, el argumento físico (4)-(7) de que hemos permutado nuevamente las partículas y, por lo tanto, puede aparecer una nueva fase adicional, no se aplica aquí.

2ª COMENTARIO AÑADIDO. Está claro que tan pronto como a uno se le permite escribir

$\psi(x,y) = \lambda \psi(y,x)$por una constante $\lambda\in U(1)$y todo $(x,y) \in R^2\times R^2$

el juego ha terminado:$\lambda$resulta ser$\pm 1$y anyons están prohibidos. Sin embargo, esto es solo matemática. Supongo que una salida es que el verdadero espacio de configuración no es$R^2\times R^2$sino algún otro espacio cuyo$R^2 \times R^2$es la cubierta universal.

Una idea (bastante aproximada) podría ser la siguiente. Se debe asumir que las partículas son indistinguibles desde cero ya que definen el espacio de configuración, eso es algo así como$Q := R^2\times R^2/\sim$dónde$(x',y')\sim (x,y)$si y si$x'=y$y$y'=x$. O tal vez restando el conjunto$\{(z,z)\:|\: z \in R^2\}$a$R^2\times R^2$antes de tomar el cociente para decir que las partículas no pueden permanecer en el mismo lugar. Supongamos el primer caso en aras de la simplicidad. Hay un mapa de cobertura (¿doble?)$\pi : R^2 \times R^2 \to Q$. Mi conjetura es la siguiente. Si uno define funciones de onda$\Psi$en$R^2 \times R^2$, define automáticamente funciones de onda de muchos valores en$Q$. quiero decir$\psi:= \Psi \circ \pi^{-1}$. El problema de muchos valores físicamente no importa si la diferencia de los dos valores (suponiendo que la cobertura sea doble) es solo una fase y esto podría escribirse, en vista de la identificación$\sim$usado para construir$Q$fuera de$R^2 \times R^2$:

$$\psi(x,y)= e^{ia}\psi(y,x)\:.$$ Observe que la identidad no se puede interpretar literalmente porque $(x,y)$y $(y,x)$son el mismo punto en $Q$, así que mi truco para probar $e^{ia}=\pm 1$no se puede implementar. La situación es similar a la de $QM$en $S^1$induciendo funciones de onda de muchos valores desde su cobertura universal $R$. En ese caso se escribe $\psi(\theta)= e^{ia}\psi(\theta + 2\pi)$.

3er COMENTARIO AGREGADO Creo que resolví el problema que publiqué centrándome en el modelo de un par de anyons discutido en la página 225 de este documento matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/bcp/bcp42/bcp42116.pdf sugerido por Trimok. El modelo es simplemente este:

$$\psi(x,y):= e^{i\alpha \theta(x,y)} \varphi(x,y)$$
dónde $\alpha \in R$es una constante, $\varphi(x,y)= \varphi(y,x)$, $(x,y) \in R^2 \times R^2$y $\theta(x,y)$es el ángulo con respecto a algún eje fijo del segmento $xy$. Se puede pasar a coordenadas $(X,r)$, dónde $X$describe el centro de masa y $r:= y-x$. Intercambiar las partículas significa $r\to -r$. Sin prestar atención a los detalles matemáticos, se ve que, de hecho: $$\psi(X,-r)= e^{i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A)$$ para una rotación antihoraria. (Para rotaciones en el sentido de las agujas del reloj, un signo $-$aparece en la fase, describiendo el otro elemento del grupo trenzado $Z_2$. Nótese también que, por $\alpha \pi \neq 0, 2\pi$la función se anula para $r=0$, a saber $x=y$, y esto corresponde al hecho de que eliminamos el conjunto $C$de puntos de coincidencia $x=y$desde el espacio de configuraciones.)

Sin embargo, un examen más detallado muestra que la situación es más complicada: el ángulo$\theta(r)$no está bien definido sin fijar un eje de referencia donde$\theta =0$. Después se puede suponer, por ejemplo,$\theta \in (0,2\pi)$, de lo contrario$\psi$debe ser considerado multivaluado . con la elección$\theta(r) \in (0,2\pi)$, (A) no se cumple en todas partes. Considere una rotación en sentido antihorario de$r$. Si$\theta(r) \in (0,\pi)$entonces (A) se cumple en la forma

$$\psi(X,-r)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A1)$$ pero para $\theta(r) \in (\pi, 2\pi)$, y siempre para una rotación antihoraria se encuentra $$\psi(X,-r)= e^{-i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{- i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A2)\:.$$ Diferentes resultados surgen con diferentes convenciones. En todo caso es evidente que la fase debida al proceso de canje es función de$(x,y)$(incluso si es localmente constante) y no una constante. Esto invalida mi "prueba de no-go", pero también prueba que la noción de cualquier estadística es profundamente diferente de la estándar basada en los grupos de permutaciones, donde las fases debido al intercambio de partículas es constante en $(x,y)$. Como consecuencia, el estado intercambiado es diferente del inicial , de manera diferente a lo que sucede con los bosones o fermiones y en contra de la idea de que los aniones son partículas indistinguibles. [Observe también que, en el modelo considerado, intercambiar el par inicial de bosones significa $\varphi(x,y) \to \varphi(y,x)= \varphi(x,y)$eso es $\psi(x,y)\to \psi(x,y)$. Es decir, intercambiar anyons no significa intercambiar los bosones asociados , y es correcto, ya que es otra operación física sobre diferentes sujetos físicos.]

Alternativamente, uno puede pensar en la función de onda anyon$\psi(x,y)$como uno de múltiples valores , nuevamente diferente de lo que asumí en mi "prueba de no ir" y diferente de los supuestos estándar en QM. Esto produce una fase verdaderamente constante en (A). Sin embargo, no me queda claro si, con esta interpretación, el estado intercambiado de anyons es el mismo que el inicial, ya que nunca consideré seriamente cosas como (si las hubo) espacios de Hilbert de funciones multivaluadas y no entiendo qué ocurre con la representación de rayos de los estados. Sin embargo, esta imagen es conveniente desde el punto de vista físico, ya que conduce a una interpretación sostenible de (A) y la acción del grupo de trenzas resulta ser explícita y natural.

En realidad aparece una última posibilidad. Uno podría tratar con funciones de onda (de valor complejo estándar) definidas en$(R^2 \times R^2 - C)/\sim$como sabemos (ver arriba,$C$es el conjunto de pares$(x,y)$con$x=y$) y definimos la operación de intercambio solo en términos de fases (para que mi "prueba de no ir" no se pueda aplicar y las transformaciones no cambien los estados):

$$\psi([(x,y)]) \to e^{g i\alpha \pi}\psi([(x,y)])$$

dónde$g \in Z_2$. Esto se puede extender a muchas partículas que pasan al grupo trenzado de muchas partículas. Quizá sea conveniente matemáticamente pero no sea muy expresivo físicamente.

En el modelo discutido en el artículo que mencioné, es sin embargo evidente que, salvo una transformación unitaria, el espacio de Hilbert de la teoría no es más que un espacio de Hilbert bosónico estándar, ya que las funciones de onda consideradas se obtienen de las de ese espacio por medio de un mapa unitario asociado con una transformación de calibre singular, ¡y solo esa singularidad da lugar a toda la estructura interesante! Sin embargo, en el sistema bosónico inicial la singularidad era preexistente: el campo magnético era una suma del delta de Dirac. No sé si tiene sentido pensar en anyons independientemente de su dinámica. Y no sé si este resultado es general. Supongo que mover la singularidad de las estadísticas a la interacción y viceversaes exactamente lo que sucede en la formulación de la integral de trayectoria cuando se mueve la fase externa a la acción interna, vea la respuesta de Tengen.