¿Qué justifica el uso de espinores de Clifford para describir fermiones de dimensiones superiores?

OP parece preguntar sobre la lógica detrás de "Pequeño grupo$\to$grupo lorentz$\to$Álgebra de Clifford". En esta respuesta discutimos el último tramo.

Dado un grupo de Lorentz ( indefinido ) ortogonal/a (restringido) $SO^{+}(V,Q)$[y su doble cubierta, el grupo de giro $Spin^{+}(V,Q)$] sobre un$\mathbb{F}$-espacio vectorial$V$con una forma cuadrática$Q$, siempre existe funcionalmente un álgebra de Clifford correspondiente $Cl(V,Q)$.

Aquí asumimos que las representaciones de dimensión finita pertinentes se derivan de las representaciones de spinor [es decir, las representaciones fundamentales ] de$Spin^{+}(V,Q)$y representaciones de productos tensoriales de los mismos.

En pocas palabras, las representaciones de spinor se realizan como álgebras exteriores.$\bigwedge^{\bullet}(V)$. La forma cuadrática de Clifford$Q$y las matrices gamma se pueden construir a partir de la multiplicación interior y exterior, y el álgebra de Clifford$Cl(Q,V)$es una "cuantización" pertinente de las álgebras exteriores$\bigwedge^{\bullet}(V)$. Así que el álgebra de Clifford$Cl(Q,V)$viene gratis El (indefinido) ortogonal / álgebra de Lorentz$so(V,Q)$en sí mismo se realiza como anti-conmutadores de matrices gamma.

Esto no implica que el álgebra de Clifford [por ejemplo, el$Pin(V,Q)$grupo ] mejorar la simetría de la teoría.

Estoy respondiendo a la pregunta de por qué usamos las representaciones del álgebra de Clifford en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos para describir los fermiones o el espín.

La respuesta corta, que puede parecer bastante sorprendente, es que no tenemos que hacerlo. Las álgebras de Clifford tienen muchas ventajas para describir el giro, pero no son la única manera de hacerlo.

La respuesta a la pregunta de por qué el espín es empírico: cuando cuantificamos un sistema clásico que tiene un grupo de simetría$G$, los sistemas mecánicos cuánticos correspondientes se transforman de acuerdo con las representaciones irreducibles del grupo de cobertura universal$\tilde{G}$en vez de$G$sí mismo. Este es un hecho experimental. Esta es la razón por la cual las representaciones de espinores semiintegrales surgen en los sistemas cuánticos con simetría de rotación.

La respuesta a la pregunta de por qué se necesita el espín para describir los fermiones está dada por el teorema de la estadística del espín, que no desarrollaré aquí.

Me concentraré en la pregunta: ¿son necesarias las álgebras de Clifford para la descripción del espín?

Antes de dar la respuesta, permítanme contarles una anécdota histórica: antes de que Berezin introdujera su descripción del álgebra de Grassmann de la integral de trayectoria, la gente solía invertir el determinante fermiónico a mano. Lo hicieron durante toda la era de grandes logros de QED. (Las álgebras de Grassmann pueden considerarse como las contrapartes clásicas de las álgebras de Clifford).

No es casualidad que mencione a Berezin. Berezin (junto con Marinov) fue el primero en darse cuenta de que las álgebras de Grassmann describen el espín de forma clásica y pueden cuantificarse mediante un proceso que es la contraparte fermiónica de la cuantificación canónica de las álgebras de Clifford: Ref 1 , Ref2 . Pero lo realmente interesante es que también fue el primero que describió una representación de spinor no por medio de un álgebra de Clifford Ref3 . De hecho, el álgebra de Clifford está tan bien escondida en la realización de Berezin que es muy difícil construir los representantes de sus generadores en esta realización.

Voy a elaborar un poco acerca de esta realización en el caso del grupo$SO(2N)$

Se sabe que las representaciones de grupos de Lie compactos están en una correspondencia 1-1 con las órbitas (integrales) de la representación coadjunta. Este es el teorema de Borel-Weil-Bott .

En el caso de la representación spinor de$SO(2N)$la órbita coadjunta correspondiente es$SO(2N)/U(N)$esta es una variedad compleja de (dimensión compleja)$\frac{N^2-N}{2}$. Es una variedad simpléctica compacta que puede servir como espacio de fase.

Lo que realmente significa el teorema de Borel-Weil es que podemos formular un sistema mecánico clásico en$SO(2N)/U(N)$y cuantizarlo mediante cuantización geométrica (que no es más que una pequeña generalización de la conocida cuantización canónica) y obtener la representación espinorial de$SO(2N)$en el espacio cuántico de Hilbert. En la práctica esta representación se dará mediante estados coherentes construidos como funciones holomorfas del$\frac{N^2-N}{2}$Coordenadas (bosónicas). En la construcción no intervienen álgebras de Grassmann o de Clifford .

Ahora, una de las razones por las que esta realización no se utiliza en la teoría cuántica de campos es que el Grassmann$\rightarrow$Clifford tiene codificada la conexión de estadísticas de espín debido a sus propiedades antisimétricas. Si hubiéramos utilizado la realización de cuantización de Berezin para calcular alguna amplitud teórica del campo cuántico, habría sido necesario introducir la antisimetría a mano además de todas las demás complicaciones.

Una vez dicho esto; todavía uno de mis sueños es calcular una amplitud QED de nivel de árbol simple usando esta representación. Sé que necesitaré un paquete de álgebra computacional muy poderoso para eso.