¿Qué garantiza la existencia de operadores unitarios implementando Transformaciones de Lorentz?

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Observamos la simetría de Lorentz en las leyes de la naturaleza. Por lo tanto, exigimos que los bloques de construcción de nuestra teoría se transformen en representaciones definidas del grupo de Lorentz (o más bien de Poincaré).

¿Permitiría campos que no son representaciones del grupo de Lorentz? Sería extremadamente difícil construir una teoría que parezca invariante de Lorentz.

afirmo que

En cualquier teoría cuántica relativista, las transformaciones de estado de Lorentz deben realizarse como una representación proyectiva unitaria del grupo de Lorentz que actúa en el espacio de Hilbert de la teoría.

Aquí está la lógica:

1. En cualquier teoría relativista, las observaciones de los eventos espaciotemporales de los observadores inerciales se relacionan mediante transformaciones de Lorentz.

2. Nos preguntamos cómo las observaciones de estados cuánticos , a saber, elementos de algún espacio de Hilbert$\mathcal H$que modela un determinado sistema cuántico, de diferentes observadores inerciales se relacionan. En términos matemáticos, para cada transformación de Lorentz$\Lambda$, nos gustaría asociar una función$f_\Lambda:\mathcal H\to\mathcal H$tal que si$|\psi\rangle$es el estado medido por un observador inercial, entonces$f_\Lambda |\psi\rangle$es el estado medido por el observador inercial cuyas observaciones en el espacio-tiempo están relacionadas con el primero por la transformación de Lorentz$\Lambda$.

3. Nos damos cuenta de que sea lo que sea$f_\Lambda$es decir, debería preservar las probabilidades de transición de la mecánica cuántica. En otras palabras, para cada$\Lambda$,$f_\Lambda$debería ser una simetría en el sentido mecánico cuántico general definido por la preservación de las probabilidades de transición.

4. Recordemos que el Teorema de Wigner garantiza que cualquier simetría de este tipo puede ser representada por un operador unitario o antiunitario hasta la fase.

5. Nosotros argumentamos que no$f_\Lambda$puede ser antiunitario (en realidad, he olvidado el argumento convencional para esto, tal vez puedas intentar completar este detalle antes que yo). Así que usamos la notación$f_\Lambda = U(\Lambda)$en lugar de enfatizar esto.

6. Consideramos tres observadores inerciales$A$,$B$, y$C$. Dejamos$\Lambda_{ij}$sea ​​la transformación de Lorentz que conecta las medidas del espacio-tiempo del observador$j$a los de$i$, así por ejemplo,$\Lambda_{AB}$es la transformación de Lorentz que conecta la observación espaciotemporal del observador$B$a los de$A$.

7. Observamos que las medidas de estado de los observadores$A$y$C$están relacionados por$U(\Lambda_{AC})$. Además, esperamos que si transformamos las medidas de estado del observador$A$a los de$B$con$U(\Lambda_{AB})$, y luego transformar esas medidas a las de$C$con$U(\Lambda_{BC})$, entonces deberíamos obtener la misma respuesta hasta la fase (también conocido como un estado físicamente equivalente), a saber

   $$\begin{align} U(\Lambda_{AC}) = c(\Lambda_{BC}, \Lambda_{AB})U(\Lambda_{BC})U(\Lambda_{AB}). \end{align}$$ donde la parte "hasta la fase" proviene del hecho de que los estados que difieren en una fase son físicamente equivalentes en la mecánica cuántica. Pero ahora notamos que$\Lambda_{AC} = \Lambda_{BC}\Lambda_{AB}$, por lo que obtenemos la propiedad del homomorfismo hasta la fase $$\begin{align} U(\Lambda_{BC}\Lambda_{AB}) = c(\Lambda_{BC}, \Lambda_{AB})U(\Lambda_{BC})U(\Lambda_{AB}) \end{align}$$ y por lo tanto hemos terminado.

8. Post relacionado (para entender mejor la parte "proyectiva"): Idea de Grupo Cobertura