¿Cuál es la relación exacta entre las amplitudes en el caparazón y los correladores fuera del caparazón en AdS/CFT?

Primero, un artículo de referencia, de Witten, http://arxiv.org/abs/hep-th/9802150v2.pdf

Intentaré exponer la idea básica, con un espacio-tiempo plano. Suponga que tiene una teoría de campo escalar relativista, en un dominio de espacio-tiempo plano, con límite. La ecuación del campo es:

$$\square \Phi(x) = 0$$ (campos en shell)

Ahora, defina la función de partición.

$$Z = e^{−S(\Phi)}$$ , dónde $$S(\Phi) = \int d^nx \,\partial_i \Phi(x)\,\partial^i \Phi(x)$$ es la acción para el campo $\Phi$

Después de esto, haces una integración por partes (usando la ecuación de arriba), y el teorema de Stokes, y obtienes:

$$S(\Phi) = \int d^nx \, \partial_i \Phi(x)\,\partial^i \Phi(x) = \int d^nx \,\partial_i(\Phi(x)\,\partial^i \Phi(x))$$ $$= \int_{Boundary} d \sigma_i \,(\Phi(x)\,\partial^i \Phi(x))$$

Ahora supongamos que el campo$\Phi(x)$tiene el valor$\Phi_0(x)$en el límite Entonces, puedes ver que$S$y$Z$pueden ser considerados como funcionales de$\Phi_0$, para que podamos escribir$Z(\Phi_0)$:

$$Z(\Phi_0) = e^{ \,( -\int_{Boundary} d \sigma_i \,(\Phi(x)\,\partial^i \Phi(x)))}$$

Ahora, el verdadero cálculo no es con espacio-tiempo plano, sino con anuncios o anuncios euclidianos, por lo que en su cálculo debe incluir las métricas correctas, pero la idea es la misma.

El último paso es decir que existe una relación entre, la Función generadora de funciones de correlación de los operadores CFT$O(x)$viviendo en el límite, y la función de partición$Z$

$$<e^{\int_{Boundary} \Phi_0(x) O(x)}>_{CFT} = Z(\Phi_0)$$

Los términos RHS y LHS de esta ecuación deben verse como funcionales de$\Phi_0$Puedes hacer un desarrollo de estos términos en potencias de$\Phi_0$, por lo que obtuvo todas las funciones de correlación para los operadores CFT$O(x)$

$$<O(x_1)O(x_2)...O(x_n)> \sim \frac{\partial^n Z}{\partial \Phi_0(X_1)\partial \Phi_0(X_2)...\partial \Phi_0(X_n)}$$

Entonces, del lado de ADS, estamos usando funciones de particiones en el shell (porque las ecuaciones de campo para$\Phi$estan satisfechos)

Ahora, del lado CFT/QFT, las funciones de correlación$<O(x_1)O(x_2)...>$son, por definición, funciones de correlación fuera de la capa (por transformadas de Fourier, no hay restricción sobre el momento). Para obtener amplitudes de dispersión, simplemente necesitamos colocar las patas externas en el caparazón.

La declaración se puede entender en términos de la fórmula GKPW (llamada así por Gubser, Klebanov, Polyakov y Witten), que hace exactamente eso: relaciona las funciones de correlación en el lado CFT (límite) con las amplitudes de cadena en el lado AdS (bulk) . Asumir que$\phi(\vec{x},z)$es algún campo a granel, donde$z$es la llamada "coordenada holográfica", que alcanza su valor CFT$\phi_0$en el límite en$z=0$. Para algún Operador$\mathcal{O}(\vec{x})$, la fórmula GKPW está dada por

$$\langle e^{\int d^4x\,\phi_0(\vec{x})\mathcal{O}(\vec{x})}\rangle_{CFT}=\mathcal{Z}(\phi(\vec{x},z)|_{z=0}=\phi_0(\vec{x})).$$

En el lado izquierdo, tiene la función de correlación para la CFT y en el lado derecho, encuentra la función de partición de la teoría de cuerdas correspondiente, evaluada para el valor límite del campo.