¿Cuál es la relación entre las estadísticas de Maxwell-Boltzmann, la distribución de Boltzmann y la distribución de Maxwell-Boltzmann? [cerrado]

La distribución de Maxwell-Boltzmann y las distribuciones de Boltzmann son distribuciones de probabilidad, es decir, funciones$\rho(\vec x,\vec v)$de velocidad y posición de una partícula, que dicen cuál es la densidad de probabilidad de que la velocidad y la posición pertenezcan al pequeño cubo alrededor del valor dado de ellas.

La distribución de Boltzmann es la más general,$\rho \sim \exp(-E/kT)$, diciendo que las probabilidades decrecen exponencialmente con la energía. La energía$E=E(\vec x,\vec v)$es una función de la posición y la velocidad. Cuando la dependencia particular de la posición (energía potencial) se sustituye por$E$, solemos hablar de la parte (factor) de Boltzmann de la distribución.

Cuando incluimos la energía cinética$E_k=mv^2/2$, obtenemos la parte de Maxwell de la distribución. A veces,$\rho\sim \exp(-mv^2/2kT)$se conoce como la distribución de Maxwell-Boltzmann incluso si no hay energía potencial$E_P$está incluido en$E$. Entonces, Maxwell y Boltzmann difieren como parte "cinética" y "potencial" de la distribución general de Boltzmann.

Por otro lado, la estadística de Maxwell-Boltzmann es una regla sobre cómo tratar estadísticamente la información sobre muchas partículas de la misma "especie". La regla, la única conocida en la física clásica (pre-cuántica), dice que aunque puedan tener las mismas propiedades, son distinguibles. No hay distribución aquí, es una regla que dice que las posiciones$(\vec x_1,\vec x_2)$y$(\vec x_2,\vec x_1)$de dos partículas son distintas.

La relación entre las estadísticas y la distribución (para una partícula) es que la distribución puede derivarse de las estadísticas si buscamos la forma más probable de dividir la energía entre muchas partículas del mismo tipo. El "más probable" significa maximizar el volumen del espacio de fase.

Se habla de las estadísticas y distribuciones de Maxwell-Boltzmann especialmente en contraste con sus contrapartes cuánticas, las estadísticas/distribuciones de Bose-Einstein y Fermi-Dirac. En esas estadísticas, las partículas son indistinguibles. Además, en las estadísticas de Fermi-Dirac, como máximo 1 partícula puede tener la misma lista de propiedades.

Las distribuciones BE y FD se derivan y se ven un poco diferentes. Mientras que el de Boltzmann se basa en$\exp(-E/kT) = 1/\exp(E/kT)$, las distribuciones BE y FD son