¿Cuál es la diferencia entre ⟨v2⟩⟨v2⟩\langle v^2 \rangle y ⟨|v|⟩2⟨|v|⟩2\langle |v|\rangle^2?

Tomemos un ejemplo: el gas ideal. sé por ejemplo que ⟨ v ⟩ 2 es diferente a ⟨ v 2 ⟩ , como ⟨ v ⟩ = 0 debido a que no tiene una dirección preferida.
Pero saber si calculo la media del valor absoluto ⟨ | v | ⟩ Yo obtengo:

metro 2 ⟨ | v | ⟩ 2 = 4 π k B T ≠ 3 2 k B T = metro 2 ⟨ v 2 ⟩
dónde k B T es la ''energía térmica'' y metro la masa de las partículas. En lenguaje sencillo:
⟨ v 2 ⟩ ⟨ | v | ⟩ 2 = 3 π 8 ≈ 1.18

¿Hay alguna interpretación física o matemática de este desacuerdo?

Editar: tal vez la proporción no sea gran cosa, pero estoy tratando de aclarar una diferencia en la literatura relacionada con el número de Lorenz en el modelo Drude. Algunos autores utilizan ⟨ v 2 ⟩ (Ashcroft, Mermin Solid State Physics) y otros ⟨ | v | ⟩ 2 (Kittel y otros como Hiperfísica ).

el caso es que estas comparando ⟨ v 2 ⟩ con (     ⟨ | v | ⟩     ) 2 . Esos son diferentes. El primero sería el mismo que ⟨ | v | 2 ⟩ , pero no si la plaza está fuera.
@FGSUZ Eso lo entiendo.

Respuestas (3)

No hay razón para que la identidad se mantenga; en general, la media de la raíz cuadrada de una variable aleatoria no negativa no es la raíz cuadrada de la media.

Pero, ¿tiene algún significado esta relación? Me refiero a que la diferencia entre la media del cuadrado de v y la media de v al cuadrado generalmente está relacionada con alguna desviación estándar. En este caso la pregunta es sobre la diferencia entre la media del cuadrado de v y la media de |v| al cuadrado
Cualquier cosa solo tiene sentido si surge en los cálculos de forma natural.
@VladimirKalitvianski lo hace, ver editar.

Olvida que la velocidad es un vector v → por el momento, y solo deja v := v → denote la velocidad (es decir, el módulo del vector de velocidad). Esta es solo una variable aleatoria real no negativa, y estás preguntando por qué ⟨ v 2 ⟩ ≠ ⟨ v ⟩ 2 . Pero, como es bien sabido, la diferencia entre estas dos expresiones es solo la varianza de v .

Bien, para aclarar esto, la varianza es < v^2 > - < v>^2 o <v^2> - < vec(v) >•< vec(v) > ? ¿Hay una diferencia?
@Mauricio Estaba discutiendo la variación de | v | , cual es ⟨ v 2 ⟩ − ⟨ v ⟩ 2 . Sin embargo, ⟨ v 2 ⟩ − ⟨ v → ⟩ ⋅ ⟨ v → ⟩ = ∑ i ( ⟨ v i 2 ⟩ − ⟨ v i ⟩ 2 ) es una suma de las varianzas de los componentes.
Sigamos con 1D. En QM para calcular la varianza del impulso P de un estado dado, lo calculamos como <p^2> - <p>^2 no <p^2>- <|p|>^2
@Mauricio El primero es la variación del impulso, el último del impulso sin firmar. La distinción radial-vectorial existe incluso cuando el "vector" es 1D.

Uno se define como

⟨ | v | ⟩ = ∫ | v | F ( v ) d v ∫ F ( v ) d v
mientras que el otro
⟨ v 2 ⟩ = ∫ v 2 F ( v ) d v ∫ F ( v ) d v .
Está claro que ⟨ | v | ⟩ 2 ≠ ⟨ v 2 ⟩ .

¿Cuál es la diferencia entre ⟨v2⟩⟨v2⟩\langle v^2 \rangle y ⟨|v|⟩2⟨|v|⟩2\langle |v|\rangle^2?
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