¿Es la noción de Lebesgue Measure una construcción necesaria para la física estadística? [duplicar]

En el chat de anoche, un usuario y yo discutíamos el significado "físico" de la noción de medida lebesgue. En particular, teníamos curiosidad por saber si los físicos pueden "arreglárselas" sin él. Mencioné que el teorema de la convergencia dominada es necesario para probar ciertos teoremas en estadística que serían necesarios en áreas como la termodinámica estadística, donde desea saber que cuando se trata de una gran cantidad de partículas, cosas como la velocidad/energía tienen una distribución aproximadamente normal (Central teorema del límite). Entonces nos sorprendió encontrar una prueba de la CLT que no solo estaba libre de la DCT, sino que estaba formulada completamente en términos de la integral de Riemann.

Mi pregunta es: ¿Existen áreas específicas de la física que se basen en la noción de la medida de Lebesgue? (ya sea directa o indirectamente a través de teoremas para los cuales se necesita probar esta noción). ¿Hasta el punto de ser necesario y no meramente útil?

La integración de Lebesgue se utiliza básicamente en todas las áreas de la física. Ejemplo: el L 2 ( R 3 ) El espacio de Hilbert en QM debe estar completo . Posible duplicado: ¿Cuándo es útil la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann en física? .
La mayor parte de la mecánica estadística no es tan matemáticamente rigurosa como crees...
@Qmechanic ¿No se puede hacer esto insistiendo en que sus distribuciones sean absolutamente integrables con Riemann en lugar de integrables con Lebesgue? Solo tengo una experiencia rudimentaria en QM.
La distinción entre la integración de Lebesgue y la de Riemann casi nunca importa en física en el sentido de que generalmente tratamos el cálculo como un sistema algebraico en lugar de preocuparnos por los épsilons y deltas. Por ejemplo, puedes probar que ∫ X norte = ( 1 / ( norte + 1 ) ) X norte + 1 en cualquier sentido de integración que le interese y luego derive todas las demás integrales a partir de eso (usando, por ejemplo, la serie de Taylor) sin preocuparse de si el orden de los límites de la suma y la integración se pueden cambiar o no.
Dicho esto, hay casos importantes en física en los que cambiar el orden de los límites causa problemas. Estos casos son esencialmente aquellos en los que tenemos un sistema con un continuo de modos normales, como un medio de soporte de ondas de extensión infinita. Si el sistema no tiene amortiguamiento, los intentos de calcular la función de Green conducen a divergencias. Luego se debe introducir amortiguamiento y tomar el límite cuando el amortiguamiento llega a cero después de calcular las integrales. Desde un punto de vista matemático, esta es una forma de regularizar la integral para poder cambiar los límites, y creo que requiere Lebesgue.
No publiqué nada de eso como respuesta porque no estoy seguro de que la integración de Lebesgue sea realmente necesaria para lo que escribí. Espero que alguien más confirme o niegue y luego decidiré qué hacer.
Recuerdo haber leído algo sobre la necesidad de un tipo particular de integral para demostrar el teorema de Stokes con esquinas en una variedad orientable con límite. ¡Sin embargo, no recuerdo cuál se necesitaba! Probablemente tampoco entendió lo que estaba escrito... estaba en el libro de Lee.
@DanielSank: El teorema de Fubini es el teorema principal sobre los límites de intercambio en la integral de Lesbegue.
"hacer hacer", no "hacer debido".
@DavidReed oh, bueno, gracias. Si hubiera sabido eso, habría escrito una respuesta :-)
Relacionado pero no exactamente la misma pregunta: mathoverflow.net/questions/238153/… .
@DanielSank: Con respecto a su comentario sobre la amortiguación, estoy bastante seguro (pero no sé lo suficiente sobre esto para estar seguro) de que cualquier integral limitante explícita que surja en la física se puede probar sin la integración de Lebesgue simplemente encontrando límites duros y luego aplicando el teorema de compresión generalizado. Esto se basa en mi propia experiencia en lógica y teoría de la medida. Además, la divergencia antes de la 'regularización' es un problema con el modelo físico y, por lo tanto, es un asunto separado de la integral.

Respuestas (3)

Opinión impopular aquí: no, no "necesitas" la medida de Lebesgue para hacer física. No necesita ningún tipo de análisis funcional, ni ninguna teoría de distribución, ni ninguna matemática más allá de lo que sabe un estudiante de secundaria.

Ninguna de estas cosas es esencial para describir lo que hace la Naturaleza; el contenido de los postulados de la mecánica cuántica, o de la relatividad especial, o de la mecánica estadística son físicos , no matemáticos. Es cierto que puede agregar objetos matemáticos sofisticados para que los postulados se vean mejor, como se hizo a menudo décadas o siglos después del hecho. Pero eso es algo completamente diferente de la tarea central de descubrir cómo se comporta la naturaleza.

Considere una sola partícula con el espacio de Hilbert L 2 ( R 3 ) . Absolutamente nada visible experimentalmente cambia si pongo un límite de momento-espacio, por ejemplo, una red discreta en la que salta la partícula, digamos en la escala de Planck. Tampoco cambia nada si pongo la partícula en una caja grande pero finita, digamos, del tamaño del universo observable. Pero ahora estamos en un espacio vectorial de dimensión finita y no hay necesidad de matemáticas complicadas.

Todavía necesitamos cálculo, pero incluso esto puede eliminarse; simplemente discretice el tiempo, realizando pasos de tiempo como cada simulación numérica jamás escrita. Entonces te quedas solo con la aritmética elemental. Hemos perdido todas las matemáticas, pero todavía tenemos la mecánica cuántica , porque los postulados físicos de superposición, evolución unitaria, la regla de Born, etc. siguen intactos. De manera similar, en mecánica estadística, el límite termodinámico norte → ∞ no existe; siempre estás tratando con un número perfectamente finito de partículas, lo que reduce la situación a la mecánica clásica. Esta configuración funciona incluso en la teoría relativista de campos cuánticos; se usa regularmente en QCD de celosía, donde produce resultados que no se pueden encontrar de otra manera.

No estoy en desacuerdo con que las herramientas matemáticas pueden ser elegantes y útiles, pero me opongo firmemente a confundirlas con la física misma. Sabemos cómo funciona la naturaleza una vez que encontramos el conjunto correcto de leyes y demostramos que están de acuerdo con el experimento, no cuando las escribimos con pleno rigor matemático.

Estoy de acuerdo con gran parte de esta publicación, pero "Hasta donde yo sé, un refinamiento matemático posterior a los hechos de un postulado físico nunca ha llevado a un nuevo conocimiento sobre cómo funciona la naturaleza". parece irrazonable. Podemos llegar a la idea básica de la teoría cuántica de campos, ¡pero solo calculando varias secciones transversales de dispersión podemos llegar a algo comprobable experimentalmente! Creo que la confirmación experimental es un aspecto importante del "nuevo conocimiento sobre cómo funciona la naturaleza". Además, se requieren matemáticas para encontrar cosas como el Higgs y proponer cómo buscarlo .
@DanielSank ¡Cierto! Pero considero que calcular secciones transversales de dispersión es buena física, no matemáticas añadidas encima; es simplemente producir las predicciones de una nueva teoría física de la manera más directa posible. La estructura matemática adicional a la que me refiero es algo como la teoría algebraica de campos cuánticos o convertir todo en un haz de fibras. (es decir, la diferencia entre 'vamos a intentar describir la naturaleza con ϕ 4 teoría' y 'construyamos rigurosamente la integral de trayectoria para ϕ 4 teoría'. Por supuesto, toda esta publicación traiciona mi parcialidad como fenomenólogo).
"La estructura matemática adicional a la que me refiero es algo como la teoría algebraica de campos cuánticos o convertir todo en un haz de fibras". Siento que esto es un retroceso en relación con lo que está escrito en la respuesta.
@DanielSank Tienes razón. Combiné dos cosas: cuándo las matemáticas son útiles y cuándo las matemáticas son necesarias. La mayor parte de mi publicación argumenta que casi no se necesitan matemáticas y lo mantengo. La última oración hace la afirmación adicional de que las matemáticas adicionales más allá de lo que es útil para los cálculos no tienden a generar nuevas leyes físicas, pero esa es una afirmación completamente diferente.
"La última oración hace la afirmación adicional de que las matemáticas adicionales más allá de lo que es útil para los cálculos no tienden a generar nuevas leyes físicas, pero esa es una afirmación completamente diferente". De hecho, y creo que es incorrecta. ¡ Un buen empaquetado matemático de nuestro conocimiento es increíblemente útil para ganar intuición no matemática! Las matemáticas y la física se ayudan mutuamente. Creo que es una tontería argumentar que uno tiene una existencia significativa sin el otro.
@DanielSank Está bien, creo que estoy de acuerdo. No quise extralimitarme así; Estoy editando esa oración significativamente.
@DanielSank Frederic Schuller señala que la incapacidad de plasmar una idea sobre el mundo físico en una forma matemática rigurosa tiende a ser una indicación de que la idea (y, por extensión, sus implicaciones) no se comprende por completo. En ese sentido, la física matemática quisquillosa proporciona una medida de qué tan bien entendemos qué es lo que estamos tratando de decir.
@ J.Murray Curiosamente, ese es el polo opuesto de lo que dijo Feynman. Dijo que una idea física (y, por extensión, sus implicaciones) no se entendía a menos que pudiera explicarse a un estudiante de secundaria, eliminando todas las matemáticas.
@knzhou No creo que esas ideas sean necesariamente incompatibles. Si estuviera presentando a alguien las funciones de onda por primera vez, las llamaría "funciones de valores complejos" en lugar de "secciones de un paquete de líneas complejo asociado al paquete de cuadros principal". Sin embargo, es precisamente mi conocimiento de esto último lo que me hace sentir cómodo respondiendo preguntas sobre, digamos, las relaciones de conmutación en coordenadas no cartesianas.

editar He editado la respuesta para lidiar con algunas de las críticas en los comentarios.

En la medida en que se necesita la medida de Lebesgue para definir la integración de Lebesgue, es fundamental para la mecánica cuántica: en general, requerimos que las funciones de onda, en función de la posición, sean integrables al cuadrado de Lebesgue.

Más específicamente, en QM los estados responden a rayos en un espacio de Hilbert. Los espacios de Hilbert son espacios de productos internos completos , y se requiere la integral de Lebesgue para completar el espacio de Hilbert relevante, consulte ¿Cuándo es útil la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann en física?

Es cierto que no hay nada especial en la base de posición, pero no se puede eludir este requisito: la medida de Lebesgue es necesaria para definir una función de onda normalizable apropiadamente cuadrada en la base de posición.

¿Puede aclarar por qué es necesario que la mecánica cuántica use la integración de Lebesgue en lugar de la integral de Riemann?
@stochastic no lo es. Las personas que dicen que necesitas a Lebesgue para hacer mecánica cuántica están pensando en funciones de onda en la base de posición en un dominio de extensión infinita. En primer lugar, la mecánica cuántica ni siquiera se suele hacer con funciones de onda espaciales de posición. En segundo lugar, la idea de un dominio infinitamente extenso no es física. En tercer lugar, incluso en un dominio infinito, en realidad no necesita la integración de Lebesgue para calcular cosas.
Estoy de acuerdo en que es esencial que los espacios de Hilbert estén completos y la integral de Lesbegue es importante allí.
¿Es el teorema espectral el objetivo final de la integridad aquí?
@DavidReed No estoy seguro de cuál es la razón profunda. Creo que puede tener algo que ver con el hecho de que los observables corresponden a operadores hermitianos en un C ∗ álgebra: si una secuencia de operadores en el álgebra convergen a un operador A queremos A estar también en ese álgebra.

La integral fue definida por primera vez por Newton como parte de su método de fluxiones, es decir, el cálculo.

Riemann puso la integral sobre una base rigurosa utilizando los métodos de análisis real. Rápidamente se entendió que no tenía muchas buenas propiedades bajo límites de toma.

(Para notar cuán útil es esta propiedad, uno podría recordar una de las historias que Feynman relató en sus libros donde intercambiaba mover el operador derivado más allá del signo integral).

La definición que finalmente se adoptó fue la integral de Lesbegue que lo hizo, por ejemplo, tenía los teoremas de convergencia monótona y dominada y el teorema de Fubini sobre el intercambio de límites en una integral doble. También era capaz de definirse en espacios abstractos, por ejemplo grupos, y de hecho, los grupos localmente compactos tienen un avatar de la medida de Lesbegue, llamada medida de Haar, que es la única medida invariante de traducción. Finalmente, las funciones cuadradas integrables formaron un espacio de producto interno completo, también conocido como espacio de Hilbert.

En la medida en que la física esté o quiera formalizarse (que no siempre es el caso, por ejemplo, solo es necesario tener en cuenta la función delta de Dirac o la integral de trayectoria), ha demostrado ser útil para definir espacios de funciones apropiados, etc.

@David Reed: De nada. Si lo sé. Pero cuando se utilizó por primera vez no se definió con rigor ya eso me refiero. Además, incluso después de que se haya definido formalmente, no es necesario conocer su definición formal para usarlo, siempre que se obtenga una comprensión práctica de cómo se puede usar. Así es como se sigue utilizando la integral de Trayectoria, prácticamente, más que rigurosamente.
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