¿Cuál es la razón por la que el operador de simetría partícula-hueco es antiunitario?

La simetría partícula-agujero solo es antilineal en el espacio de una partícula. Es lineal y unitario cuando actúa sobre el espacio de Fock de muchas partículas. Consulte la nota al pie después de la ecuación 4 en S.Ryu, A.Schnyder, A.Furusaki, A.Ludwig, Topological insulators and superconductors: ten-fold way and dimensional diversity New J. Phys. 12, 065010 (2010). ArXiv:0912.2157.

Supongamos que el hamiltoniano de una partícula tiene la propiedad de que

$$C H^* C^{-1}= -H$$ para alguna matriz unitaria$C$. Entonces
$$Hu_n=\lambda_n u_n\quad\Rightarrow \quad HCu_n^* = -\lambda_n Cu^*_n,$$ así que cuando$\lambda$es distinto de cero, las funciones propias de una sola partícula vienen en pares de valores propios opuestos. En ausencia de estados de energía cero, el estado fundamental$|0\rangle$tiene todos los estados de energía negativa ocupados y no está degenerado.

Definimos la acción de un operador partícula-agujero unitario${\mathsf C}$en el espacio de Fock de muchos cuerpos por

$${\mathsf C}\Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}= \Psi_\alpha^\dagger C_{\alpha\beta}, \quad {\mathsf C}\Psi^\dagger_\beta {\mathsf C}^{-1}= C^\dagger_{\beta\alpha}\Psi_\alpha.$$

Cuando
${\mathsf C}$actúa sobre el hamiltoniano tenemos

$${\mathsf C}\hat H {\mathsf C}^{-1}= {\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha H_{\alpha\beta} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ ={\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha {\mathsf C}^{-1}{\mathsf C}H_{\alpha\beta}{\mathsf C}^{-1}{\mathsf C} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ = {\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha {\mathsf C}^{-1}H_{\alpha\beta}{\mathsf C} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ = C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho} H_{\alpha\beta} \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta}\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H_{\alpha\beta}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H^T_{\beta \alpha}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\nonumber\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H^*_{\beta \alpha}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\nonumber\\ =+ \Psi^\dagger_\sigma H_{\sigma\rho} \Psi_{\rho}.\\ = \hat H.$$ Así que la transformación de una partícula en$H$deja invariante el hamiltoniano de muchas partículas.

Tenga en cuenta que hemos utilizado$C^{*\dagger} = C^T$y la falta de rastro (línea 5$\to$6) y hermiticidad de$H$en las manipulaciones anteriores. Más importante aún, y a pesar de la apariencia de ``$*$"en la acción de$H$, el operador de muchos cuerpos${\mathsf C}$debe actuar en el espacio de Fock linealmente :

$${\mathsf C}(\lambda |\psi_1\rangle+\mu |\psi_2\rangle)= \lambda {\mathsf C}|\psi_1\rangle+\mu {\mathsf C}|\psi_2\rangle.$$ La linealidad es requerida en el paso $${\mathsf C}H_{\alpha\beta}{\mathsf C}^{-1}= H_{\alpha\beta}.$$

Me parece conceptualmente más simple pensar en la simetría partícula-agujero como se define en la segunda notación de cuantificación. De hecho: el significado mismo de una transformación partícula-agujero debería significar que debería intercambiar partículas y agujeros, es decir, queremos$\mathcal C c^\dagger \mathcal C = c$(dónde$\mathcal C^2 = 1$). La antiunitaridad se sigue entonces de querer$\mathcal C$para preservar el$U(1)$simetría de fermiones: si$c \to e^{i\alpha} c$, entonces$\mathcal C (e^{-i\alpha} c^\dagger )\mathcal C = e^{i\alpha} c$. es decir, queremos eso$\mathcal C e^{-i\alpha} \mathcal C = e^{i\alpha}$. Esto define natural y completamente la transformación partícula-agujero.$\mathcal C$!

Entonces, ¿cómo definir ser invariante bajo esta simetría? Ingenuamente diríamos$\mathcal C H \mathcal C = H$. Sin embargo, esta no es la noción correcta. Para ver esto, tomemos el caso simple de$H = \sum t_{ij} c_i^\dagger c_j + \mu c_i^\dagger c_i$. Intuitivamente vemos que esto debería ser simétrico partícula-agujero si$\mu = 0$. (Para convencerse a sí mismo, considere el caso del salto del vecino más cercano, en cuyo caso sabemos que el espectro es solo un coseno, que es claramente simétrico con respecto a los agujeros de partículas en el llenado medio, es decir$\mu = 0$.) Usando nuestra definición anterior,$\mathcal C H\mathcal C = \sum t_{ij}^* c_i c_j^\dagger + \mu c_i c_i^\dagger$, que por las reglas de conmutación fermiónica es lo mismo que$- \sum \left( t_{ji}^* c_i^\dagger c_j + \mu c_i^\dagger c_i \right) + \mu N_\textrm{sites}$. Luego otra vez por el hecho de que$H$debe ser hermitiano, sabemos que$t_{ji}^* = t_{ij}$, entonces vemos que

$$\mathcal C H\mathcal C = -H + \mu N_\textrm{sites}$$

Es decir, en el caso simétrico partícula-agujero, tenemos que$\mathcal C H\mathcal C = -H$. ¡Entonces es natural tomar esto como nuestra definición de simetría partícula-hueco!

Una respuesta más fundamental a por qué el operador de partículas-agujero se toma de esa manera es mirar hacia QFT. Ahí tenemos partículas y antipartículas y podemos asignarles una carga de$+q$a una partícula y$-q$a la antipartícula. Así, un operador que intercambia partículas y antipartículas$\mathcal{C}$debe satisfacer$\mathcal{C}|p\rangle=|\bar{p}\rangle$entonces si tenemos un operador de carga$\mathcal{Q}$debe satisfacer:$\mathcal{Q}|p\rangle=q|p\rangle$y$\mathcal{Q}|\bar{p}\rangle=-q|\bar{p}\rangle$. Ahora aplicamos el$\mathcal{C}$operador:

$$\mathcal{C} \mathcal{Q}|p\rangle= \mathcal{C} q|p\rangle= q|\bar{p}\rangle$$ Mientras simultáneamente: $$\mathcal{Q}\mathcal{C}|p\rangle= \mathcal{Q}|\bar{p}\rangle= -q|\bar{p}\rangle$$ Así debemos tener $$\mathcal{Q}\mathcal{C}=-\mathcal{C} \mathcal{Q}$$ En este sentido, si un operador es consistente con cómo cambian los cargos bajo$\mathcal{C}$entonces: $$\mathcal{C}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{C}=-\mathcal{A}$$ Ahora esto podemos aplicarlo al hamiltoniano, tenga en cuenta que no podemos tener$\mathcal{H}\mathcal{C}=\mathcal{C} \mathcal{H}$ya que esto implicaría estados propios simultáneos del hamiltoniano y$\mathcal{C}$, pero los únicos estados propios de$\mathcal{C}$son partículas cuya antipartícula son ellas mismas ya que$\mathcal{C}^2=1$. Entonces, para establecer la consistencia de partículas y antipartículas, el hamiltoniano debe satisfacer: $$\mathcal{C}\mathcal{H}\mathcal{C}=-\mathcal{H}$$ Esto en realidad se vincula a la respuesta anterior ya que mantiene$U(1)$la simetría implica la conservación de la carga por lo que$\mathcal{C}$debe ser antiunitario. Para el caso de la Materia Condensada tomamos, convenientemente, los huecos como la antipartícula de los electrones ya que claramente tienen carga opuesta. Entonces todo lo anterior sigue.