Gradiente de fase, potencial vectorial y corriente en un superconductor

Para un superconductor podemos escribir una función de onda$\psi$en función de una densidad$\rho(\vec{r})$de partículas como

$$\psi(\vec{r})=\rho^{1/2}(\vec{r})\,e^{i\theta} \, .$$

Esto conduce a la corriente de densidad de probabilidad

$$\vec{J}=\frac{\hbar}{m} \left(\nabla\theta-\frac{q}{\hbar}\vec{A} \right)\rho \, ,$$

que, según entendí al leer el Vol.3, Cap. 24 de Feynman Lectures, puede verse como la función de onda de todos los pares de cobre y la corriente de carga real en el material.

He estado luchando por entender cómo esta misma expresión para la corriente conduce a varios resultados diferentes:

• Si queremos deducir la cuantificación del flujo, la ecuación de corriente debe integrarse en una curva cerrada alrededor del flujo magnético en la que no hay corriente, igualando el cambio de fase sobre la curva cerrada y el propio flujo magnético por la integral de$\vec{A}$.
• Para deducir la segunda ecuación de London debemos asumir$\nabla\theta=0$. ¿Cómo podemos justificar esto, considerando que el gradiente de fase es fundamental para explicar la cuantificación del flujo? Nosotros necesitabamos$\nabla\theta$antes y ahora es$=0$. ¿Qué es diferente en esta situación?
• Si asumimos que la ecuación de London es correcta en el caso de la cuantificación de flujo, debería haber corriente alrededor de cada vórtice (para todo el volumen), donde hay un vector potencial distinto de cero. ¿Por qué este razonamiento es incorrecto?
• En una unión de Josephson, la corriente está relacionada con la diferencia de fase entre los dos superconductores, nuevamente necesitamos$\nabla\theta$, sin embargo, las ecuaciones de Londres nos dicen que la corriente solo debe estar relacionada con el vector potencial$\vec{A}$. ¿Cómo podemos darle sentido a esto?