¿Simetría de agujeros de partículas de un solo sitio?

No, no puedes escribir esta transformación como$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle=c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle$, porque$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle$y$c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle$son dos estados cuánticos ortogonales: no pueden ser iguales. La transformación$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle\to c_{i\uparrow}|0\rangle$con el que empiezas también es incorrecto, porque el estado resultante es$c_{i\uparrow}|0\rangle= 0$, lo que hace que la transformación no sea unitaria. Lo que usas normalmente$c_{i\uparrow}^\dagger=c_{i\downarrow}^\dagger$todavía está mal, porque$c_{i\uparrow}^\dagger$y$c_{i\downarrow}^\dagger$son operadores diferentes y no pueden ser iguales.

La forma correcta de escribir todo es comenzar definiendo un operador de transformación partícula-agujero$\mathcal{P}$, tal que su acción sobre el operador fermion es

$$\mathcal{P}c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{P}^{-1} = c_{i\sigma}, \tag{1}$$

y su acción en el estado de vacío es

$$\mathcal{P}|0\rangle = \prod_{i,\sigma} c_{i\sigma}^\dagger|0\rangle. \tag{2}$$

Es importante que el estado de vacío$|0\rangle$también debe transformarse bajo$\mathcal{P}$. Físicamente, se debe a que el estado de vacío es el estado sin ocupación de partículas, lo que significa que es un estado que está completamente ocupado por agujeros. Entonces, bajo la transformación partícula-agujero, el estado de vacío se convertirá en un estado completamente ocupado de partículas, como se expresa en la ecuación (2). Matemáticamente, la ecuación (2) se sigue de la ecuación (1) como resultado de la consistencia. Porque el estado de vacío se define como el estado aniquilado por todo el operador de aniquilación, es decir$c_{i\sigma}|0\rangle=0$. Ahora si aplicamos$\mathcal{P}$a ambos lados de la ecuación, tenemos$\mathcal{P}c_{i\sigma}|0\rangle=\mathcal{P}0=0$(porque cualquier operador lineal actúa sobre$0$es todavía$0$). Sin embargo, el lado izquierdo dice$\mathcal{P}c_{i\sigma}|0\rangle=\mathcal{P}c_{i\sigma}\mathcal{P}^{-1}\mathcal{P}|0\rangle=c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{P}|0\rangle$, lo que significa que el estado$\mathcal{P}|0\rangle$es aniquilado por el operador de creación$c_{i\sigma}^\dagger$en cambio, por lo que el estado$\mathcal{P}|0\rangle$tiene que ser un estado completamente ocupado.

Aplicando la ecuación (1) y la ecuación (2) a un solo sitio (omitiendo el índice del sitio$i$), tenemos

$$\mathcal{P}c_{\uparrow}^\dagger|0\rangle = (\mathcal{P}c_{\uparrow}^\dagger\mathcal{P}^{-1})(\mathcal{P}|0\rangle)=c_{\uparrow}c_{\uparrow}^\dagger c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle=c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle.$$

Así que esto significa que bajo la transformación partícula-agujero, el estado de giro$c_{\uparrow}^\dagger|0\rangle$se transforma a un estado spin-down$c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle$.