¿Cuál es la razón fundamental de la unidad imaginaria en las relaciones del conmutador de Heisenberg?

La conocida relación del conmutador de Heisenberg

[ pag , q ] = ℏ i ⋅ I
introduce la unidad imaginaria i en mecánica cuántica. Pregunto por la razón más profunda:

¿Por qué la correspondencia con las coordenadas reales q y p introduce números complejos para el conmutador? ¿La razón es de la física o de las matemáticas?

Aparte: estoy familiarizado con los números complejos y con el hecho de que algunos resultados del dominio real no encuentran una explicación satisfactoria hasta la generalización al dominio complejo.

Tome el conjugado hermiteno de la relación.
sinceramente, estoy fuera de profundidad aquí, pero la respuesta de @JG mencionó que i aquí está relacionado con el i en mi i pag q h y es el caso de que cada vez que desee describir el movimiento periódico, probablemente desee invocar exponenciales complejas. Así que un pensamiento realmente largo y medio cocido sería: Hay un i en la relación del conmutador porque alguna otra parte de la teoría implica ondas/movimiento periódico.
@SidharthGhoshal Buena captura. Las transformaciones unitarias tienen una conexión obvia con tales ondas periódicas. De hecho, tales factores pueden interpretarse como la relación de De Broglie.
@SidharthGhoshal Al igual que tú, tengo la impresión de que una razón profunda para la unidad imaginaria 'i' es la omnipresencia de las ondas. La herramienta matemática para las ondas es la exponencial compleja exp(it) y el análisis de Fourier. De hecho, los artículos seminales de Heisenberg de 1925 muestran claramente la búsqueda de una explicación de la ley espectral como uno de sus objetivos.

Respuestas (3)

Porque los operadores pag y q representan observables físicos (es decir, tienen valores propios reales), deben ser hermíticos (es decir, pag † = pag y q † = q ).

A partir de esto es fácil demostrar que su conmutador [ pag , q ] es anti-hermitano.

[ pag , q ] † = ( pag q − q pag ) † = ( pag q ) † − ( q pag ) † = q † pag † − pag † q † = q pag − pag q = − [ pag , q ]

Puede obtener un operador de Hermitean de este anti-Hermitean [ pag , q ] solo multiplicándolo por i .

( i [ pag , q ] ) † = i [ pag , q ]

Entonces puedes escribir la relación del conmutador de Heisenberg también como

i [ pag , q ] = ℏ I
con operadores hermitianos en ambos lados. El operador del lado derecho corresponde al observable físico muy trivial, que siempre da el mismo valor de medida ℏ .

Pero esto plantea la pregunta de ¿por qué el conmutador debe ser hermético?
@Dave, creo que no es que "necesites" que el conmutador sea hermitiano (de todos modos, es antihermitiano). Más bien, porque i [ pag , q ] es hermitiano, [ pag , q ] es i veces un operador hermitiano.

¿La razón es de la física o de las matemáticas?

Puedes argumentarlo de cualquier manera. Para considerarlo matemático, vea la respuesta de @ThomasFritsch. Pero aquí hay una idea física, incluso si requiere matemáticas para explicarla. trabajaré en 1 dimensión por simplicidad. El observable clásico real pag corresponde a un hermitiano pag ^ , y conduce a mi i pag q / ℏ factores de valor propio pag . ¿Por qué ese factor, sin embargo? Debido a que necesitamos vincular el impulso a las traducciones espaciales arbitrarias ( [ pag , q ] = − i ℏ I está relacionado con el corchete de Poisson { pag , q } = − 1 ), la mecánica cuántica necesita poder, por ejemplo, transformaciones unitarias de raíz cuadrada (si puedo mover algo un metro, puedo moverlo medio metro, luego otro medio metro). Podría decirse que esta es la razón principal por la que QM involucra números complejos. Por suerte, si O ^ es un operador hermitiano adimensional, Exp ⁡ ( i O ^ ) es unitario.

No puedo entender el argumento aquí completamente, pero estoy interesado en la idea. Considere elaborar esto para que quede más claro.

Esto, extrañamente, es algo sobre lo que diserté ayer. La i surge de las transformaciones de Fourier y no necesitamos saber nada sobre la posición, el momento o la función de onda, para que surja con total naturalidad de las matemáticas donde proviene de un diferencial de posición. Incluyo las dos páginas de mis notas de clase a continuación:

página 1 de notas de clase página 2 de notas de clase

sería mejor si pudiera reemplazar la imagen y cortar y pegar la fuente de LaTeX para que su respuesta se pueda buscar.
¿Cuál es la razón fundamental de la unidad imaginaria en las relaciones del conmutador de Heisenberg?
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