La filosofía detrás de las matemáticas de la mecánica cuántica

Espacios vectoriales porque necesitamos superposición. Producto tensorial porque así es como se combinan sistemas más pequeños para obtener un sistema más grande cuando los sistemas están representados por el espacio vectorial. Operador de ermitación porque esto permite la posibilidad de tener observables de valores discretos. Espacio de Hilbert porque necesitamos productos escalares para obtener amplitudes de probabilidad. Números complejos porque necesitamos interferencia (busque el experimento de doble rendija).

La dimensión del espacio vectorial corresponde al tamaño del espacio de fase, por así decirlo. El giro de un electrón puede ser hacia arriba o hacia abajo y estas son todas las posibilidades que existen, por lo tanto, la dimensión es 2. Si tienes$k$electrones, entonces cada uno de ellos puede estar hacia arriba o hacia abajo y, en consecuencia, el espacio de fase es$2^k$-dimensional (esto se relaciona con el hecho de que el espacio del sistema total se obtiene como un producto tensorial de los subsistemas). Si, en cambio, se trata de una partícula con una posición que puede ser cualquier$x \in \mathbb R^3$entonces el espacio vectorial debe ser de dimensión infinita para codificar todas las posibilidades independientes.

Editar sobre operadores de Hermitation y valores propios.

Aquí es en realidad donde el término cuánticoproviene de: clásicamente, todos los observables son funciones conmutativas en el espacio de fase, por lo que no hay forma de obtener niveles de energía puramente discretos (es decir, con espacios entre los valores vecinos) que se requieren para producir, por ejemplo, líneas de absorción/emisión atómicas. Para obtener este tipo de comportamiento, se requiere algún tipo de generalización de observables y resulta que representar los niveles de energía de un sistema con un espectro de un operador es la forma correcta de hacerlo. Esto también encaja perfectamente con el resto de la historia, por ejemplo, el principio de incertidumbre de Heisenberg más o menos obliga a uno a tener observables no conmutativos y para esto nuevamente se requiere álgebra de operadores. Este procedimiento de reemplazar el álgebra conmutativa de funciones continuas clásicas con el álgebra no conmutativa de operadores cuánticos se llama cuantización. [Tenga en cuenta que incluso en el nivel cuántico, los operadores aún pueden tener un espectro continuo, lo que se requiere, por ejemplo, para un operador que representa la posición. Entonces, la palabra "cuántico" en realidad no implica que todo sea discreto. Simplemente se refiere al hecho de que la teoría cuántica es capaz de incorporar esta posibilidad. ]

Scott Aaronson, él mismo un científico informático (cuántico), piensa y escribe sobre varios de estos temas en su artículo Is Quantum Mechanics An Island In Theoryspace? - al menos el "¿por qué los números complejos y no los reales o los cuaterniones?", Y estoy bastante seguro de que también lo menciona en sus conferencias de 'Demócrito' .

¿La respuesta es simplemente "porque la naturaleza se comporta de esta manera" o hay una explicación más profunda?

Yo diría que sí al "porque la naturaleza se comporta así". Es la descripción más económica de datos experimentales usando matemáticas, hasta la fecha.

En primer lugar, la filosofía de la mecánica cuántica no es sencilla para la mayoría de los físicos. Esto ha generado toda una industria de "interpretaciones cuánticas" del "problema de la medición cuántica".

La mecánica cuántica es probablemente una de las mejores soluciones al problema de hacer que el misticismo sea matemáticamente preciso. La mecánica cuántica pone el misticismo sobre una base matemática firme. La mecánica cuántica trata sobre la Conciencia y la Realidad Cósmica.

Realmente, puedes leerlo directamente de la boca del caballo en el libro Quantum Questions , que es una compilación de escritos místicos de los propios fundadores de la mecánica cuántica. Personas como Werner Heisenberg, Erwin Schroedinger, Albert Einstein, Louis de Broglie, Jeans, Max Planck, Wolfgang Pauli y Arthur Eddington. No son meros físicos "marginales", aunque físicos "marginales" como Jack Sarfatti, David Bohm, Amit Goswami, John Hagelin y Frank Tipler a menudo tienen razón...

Otro libro que puedes leer es Quantum Enigma .

Es extraño que no te sientas muy cómodo con los espacios de Hilbert porque en realidad las funciones continuas forman el espacio de Hilbert y la física se trata de funciones. La diferencia general con la mecánica clásica está en el hecho de que la mecánica clásica se formuló mucho antes de que las personas que la usaran y aprendieran (e incluso desarrollaran) pudieran comprender las variedades y el álgebra de Lie, mientras que en la época de la mecánica cuántica la idea del espacio de Hilbert y todo eso se hizo más o menos natural.

Lo mismo con el resto. Podría formular QM sin números complejos (en principio), pero esto sería lo mismo que la formulación de las ecuaciones de Maxwell sin vectores. La gente dice que las ecuaciones de Maxwell en realidad se formularon antes de que los físicos estuvieran lo suficientemente familiarizados con los vectores y fue una pesadilla.

Hice las mismas preguntas hace un tiempo.

Leer :-)

• La entrada de Heisenberg a la mecánica matricial
• Comprender el artículo 'mágico' de Heisenberg de julio de 1925: una nueva mirada a los detalles de cálculo

La mecánica cuántica es una solución en tiempo real de la ecuación de Newton. Si resuelves la ecuación de Newton en números reales, obtienes la solución de Newton. Si resuelves la ecuación de Newton en números complejos, obtienes una solución cuántica y la diferencia entre las dos soluciones es relativista. Busque en Google la ecuación de Newton dependiente del tiempo de Roger Anderton y vea que la diferencia entre la mecánica de Newton en que Newton usó números reales y cuando la ecuación de Newton se resuelve en números complejos da mecánica cuántica y la diferencia entre la mecánica cuántica y la mecánica de newton es mecánica relativista o cuántica = newton + relatividad. Es un artículo bastante interesante escrito por un ingeniero inglés.