¿Motivando la complejización de las álgebras de mentira?

Respuesta corta: las complejizaciones facilitan la teoría de la representación.

En física, normalmente queremos encontrar representaciones de un álgebra de Lie$\mathfrak g$, y muchas veces determinando las representaciones de su complejización$\mathfrak g_\mathbb C$es mas facil. Además, tenemos el siguiente teorema (ver ref. 1. Proposición 4.6) que nos dice que determinar las representaciones de la complejización nos permite determinar las representaciones del álgebra original.

Teorema. Dejar$\mathfrak g$ser un verdadero álgebra de mentira, y dejar$g_\mathbb C$sea ​​su complejización. Toda representación compleja de dimensión finita$\pi$de$\mathfrak g$tiene una extensión única a una representación lineal compleja$\pi_\mathbb C$de$\mathfrak g_\mathbb C$

$$\begin{align} \pi_\mathbb C(X+iY) = \pi(X) + i\pi(Y) \end{align}$$ para todos $X,Y\in\mathfrak g$. Es más, $\pi_\mathbb C$es irreductible como representación de $\mathfrak g_\mathbb C$si y solo si $\pi$es irreductible como representación de $\mathfrak g$.

Ejemplo. Momento angular en QM

En el caso del momento angular en la mecánica cuántica, lo que los libros de física están haciendo matemáticamente es intentar encontrar representaciones de$\mathfrak {su}(2)$actuando sobre el espacio de Hilbert de un sistema físico dado. La complejización de$\mathfrak{su}(2)$es$\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, y$\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$tiene una buena base$J_\pm, J_z$que no tiene equivalente en$\mathfrak{su}(2)$y que facilita mucho la determinación de las representaciones. Las relaciones estructurales en el$J_\pm, J_z$permite utilizar operadores de "subida" y "bajada".

Ejemplo. Álgebra de Lorentz

En la teoría cuántica relativista de campos, buscamos representaciones de$\mathfrak{so}(1,3)$. Afortunadamente, resulta que cuando complejizamos esta álgebra, se divide en una suma directa de álgebras de momento angular complejizadas:

$$\begin{align} \mathfrak{so}(1,3)_\mathbb C \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb C)\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb C), \end{align}$$ y dado que ya conocemos muy bien la teoría de la representación del álgebra de momento angular compleja, esto facilita el estudio de las representaciones del álgebra de Lorentz.

Referencias:

1. Hall, grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones

Desde una perspectiva matemática, para desarrollar la teoría de la representación del álgebra de Lie de la manera más eficiente, necesitamos el campo $\mathbb{F}$del álgebra de Lie para ser algebraicamente cerrado . Véase, por ejemplo, Ref. 1, donde este supuesto ya se utiliza al comienzo del Capítulo II.

La situación para las álgebras de Lie es similar a cuando en álgebra lineal tratamos de diagonalizar, digamos, una matriz normal real. Dicha matriz siempre es diagonalizable en un conjunto ortonormal de vectores propios, pero los vectores propios y los valores propios pueden ser complejos. Incluso para los sistemas físicos que son manifiestamente de naturaleza real, tales vectores propios complejos y valores propios complejos son a menudo conceptos útiles.

Más detalladamente, para un$n$álgebra de mentira dimensional$\frak{g}$, nos gustaría que existiera algo similar a una base Chevaller . Esto significa (entre otras cosas) que debería ser posible elegir una subálgebra de Cartan (CSA)$\frak{h}$con generadores$H_i$,$i=1,\ldots, r$; dónde$r$es el rango de$\frak{g}$; y complementado con elementos básicos$E_a$,$a=1, \ldots n-r$,

$${\frak g}~=~{\rm span}_{\mathbb{F}} \left( \{ H_i | i=1,\ldots, r\} \cup \{ E_a | a=1,\ldots, n- r\}\right) ,$$ con la propiedad de que el corchete de mentira $[E_a,H_i]$es proporcional a $E_a$. los $E_a$juegan el papel de operadores de subida y bajada, o de manera equivalente, operadores de creación y aniquilación.

Todas las álgebras de Lie complejas semisimples de dimensión finita tienen una base de Chevaller.

Ejemplo: El álgebra de mentira $sl(2,\mathbb{C})$: Pensar en$H_i$como$J_3$, y$E_a$como$J_{\pm}$.

Desde una perspectiva física pondera los hechos que, por ejemplo,

1. la teoría cuántica utiliza espacios complejos de Hilbert, cf. esta publicación de Phys.SE y sus enlaces;

2. el complejo grupo de mentiras$SL(2,\mathbb{C})$pasa a ser la (doble portada del) grupo restringido de Lorentz$SO^{+}(3,1)$, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE;

3. uno puede especular que es más fácil construir teorías físicamente sensibles basadas en la categoría de funciones analíticas ( complejas ) que, digamos, en la categoría de funciones suaves reales.

Referencias:

1. JE Humphreys, Introducción a Lie Algebras and Representation Theory, Textos de posgrado en Matemáticas 9, Springer Verlag.