Mecánica cuántica con múltiples valores de ℏℏ\hbar

Tener diferentes constantes de Planck para diferentes partículas viola la conservación de la energía y el momento, a menos que los diferentes tipos de partículas no interactúen entre sí. Esto se puede ver siguiendo los argumentos en " Nueva prueba de mecánica cuántica: ¿Es única la constante de Planck? ", E. Fischbach, GL Greene, RJ Hughes, Physical Review Letters 66 (1991) 256-259.

Considere un sistema unidimensional no relativista simple de dos partículas sin espín con la misma masa$m$pero diferentes constantes de Planck$h_A$y$h_B$, interactuando a través de un potencial$V$. Su hamiltoniano es

$$H=\frac{p^2_A}{2m}+\frac{p^2_B}{2m}+V(x_A-x_B) =\frac{P^2}{2M}+\frac{k^2}{m}+V(r)$$ dónde $r=x_A-x_B$, $k=(p_A-p_B)/2$, $M=2m$, y $P=p_A+p_B$. Las constantes de Planck para cada partícula relacionan su momento y posición a través de las relaciones de conmutación $$[x_A,p_A]=i\hbar_A,\quad[x_B,p_B]=i\hbar_B, \qquad\textrm{with }[x_A,x_B]=[p_A,p_B]=0$$ Una cantidad se conserva si conmuta con el hamiltoniano, pero encontramos que $$[H,P]=[V(r),P]=i(h_A-h_B)\frac{\partial V}{\partial r}$$ que no es cero a menos que $h_A=h_B$o $V(r)$es independiente de $r$(es decir, no hay fuerza entre las partículas). Entonces, para que se conserve el momento, las dos partículas deben tener la misma constante de Planck o no deben interactuar.

Las restricciones experimentales sobre las diferencias en la constante de Planck están establecidas por qué tan bien funcionan teorías como la electrodinámica cuántica. Si diferentes tipos de partículas cargadas tuvieran diferentes$h$, cada uno también tendría su propio valor para la constante de estructura fina$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}$. La muy buena concordancia entre las medidas de$\alpha$en sistemas que involucran diferentes tipos de partículas significa que cualquier diferencia en la constante de Planck entre esas partículas debe ser muy pequeña. Fischbach, Greene y Hughes establecieron límites en las diferencias fraccionarias en las constantes de Planck de electrones, fotones y neutrones en$< 10^{-7}$en 1991, y las mediciones más recientes establecieron restricciones aún más fuertes.

También puede consultar la respuesta a preguntas similares ¿ Por qué la constante de Planck es la misma para todas las partículas? y Universalidad de la Constante de Planck .

Experimentalmente, la unicidad de la constante de Planck se establece a través de medidas basadas en el efecto fotoeléctrico, efecto Hall, radiación de cuerpo negro, etc. No conozco ningún trabajo serio que contradiga esta afirmación.

Sin embargo, el álgebra de operadores dada en la pregunta con dos constantes de "Planck" diferentes describe un sistema cuántico válido, aunque no se puede obtener como una cuantificación del álgebra conmutativa habitual de los operadores de traducción en el espacio de fase canónico.$(\mathbb{R}^{2n}, dp_i\wedge dx^i )$(al menos no en ninguna teoría convencional de cuantización).

Dicho de otra manera, no de ambas$\hbar$Los s surgen como consecuencia del proceso de cuantización, y la teoría clásica obtenida por el límite clásico convencional dependerá de su relación. Por lo tanto, un procedimiento de limitación independiente de los dos$\hbar$Como el adoptado en 9503023 mencionado en los comentarios anteriores, conducirá no solo a diferentes sistemas cuánticos sino también a diferentes sistemas clásicos.

Una forma constructiva de obtener este álgebra de operadores es partir de un espacio de fase con una estructura simpléctica no canónica:

$$\omega = \frac{\hbar}{\hbar_1}dp_1 \wedge dx^1 + \frac{\hbar}{\hbar_2}dp_2 \wedge dx^2 + ...$$ (Este es un caso especial de un espacio vectorial simpléctico $\omega$) En este caso, los corchetes de Poisson tomarán la forma: $$\left \{x_1, p_1 \right \} = \frac{\hbar_1}{\hbar}$$ $$\left \{x_2, p_2 \right \} = \frac{\hbar_2}{\hbar}$$ Cuando esta álgebra se cuantifica de acuerdo con la regla: $$\left \{A, B \right \} = C \rightarrow \left [\hat{A} ,\hat{B} \right ] =i \hbar \hat{C}$$

un comentario

Es posible escalar las posiciones y los momentos para que el álgebra sea canónica. Sin embargo matemáticamente la transformación de escala modifica la estructura simpléctica, por lo tanto no es un simplectomorfismo; y estrictamente hablando describe un sistema mecánico diferente.

La singularidad de la constante de Planck puede entenderse heurísticamente desde el punto de vista de la cuantificación de la integral de trayectoria. Allí, los caminos están ponderados por el factor complejo:

$$e^{ i \frac{S}{\hbar}}$$ Dónde $S$es la acción. Si creemos que hay una acción que describe todos los fenómenos de la naturaleza (teoría del todo) y un procedimiento que hace rigurosa la integral de caminos de Feynman, entonces todos los sistemas de la naturaleza estarán sujetos a la misma constante de Planck, la que está en el denominador del complejo factor.

Sin embargo, la gente usa diferentes nociones de$\hbar$en diferentes ramas de la investigación, consulte los artículos en nlab sobre la constante de Planck y la cuantización de la deformación .

Permítanme entrar en detalles de dos casos: En el caso del espacio de fase clásico$(\mathbb{R}^{2n}, dp_i \wedge dx^i)$, el álgebra de los campos vectoriales hamiltonianos en$\mathbb{R}^{2n}$representar las traslaciones en el espacio de fases es conmutativo. Esta álgebra actúa sobre las funciones en el espacio fase que consisten en los observables clásicos. Después de la cuantización, las simetrías de traducción del sistema clásico se elevan para actuar sobre secciones de un paquete de líneas (que consiste en el espacio cuántico de Hilbert). El álgebra levantada ya no es conmutativa. Recibe una ampliación central. En una representación dada de este álgebra, el valor del centro debe ser un escalar, ya que conmuta todos los demás observables. El valor de este escalar es$\hbar$, véase Tuynmann y Wiegerinck ). Esta es también la razón por la cual los dos$\hbar$s en la pregunta no puede ser de origen cuántico, ya que el proceso de cuantización geométrica produce una sola extensión central.

En el problema de la cuantización del espín se puede obtener de la cuantización geométrica de la esfera bidimensional$S^2$(Consulte la sección 3.5 en las siguientes notas de clase para obtener una introducción concisa). En este caso, el álgebra clásica del campo vectorial hamiltoniano es$SU(2)$y no recibe una extensión central tras la cuantificación. La misma álgebra actúa sobre el espacio cuántico de Hilber. En este caso, la constante de Planck solo puede introducirse como un factor de escala de la estructura simpléctica:

$$\omega = \frac{i}{\hbar}\frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z} z)^2}$$ Dónde $z$es la coordenada de proyección estereográfica de la esfera. El problema de la cuantización geométrica de la esfera tiene solución solo si el recíproco de la constante de Planck ${1}{\hbar}$se cuantifica a $2S$dónde $S$es la representación de espín del espacio cuántico de Hilbert. El límite clásico correspondiente a $\hbar \rightarrow 0$corresponde a $S \rightarrow \infty$. Por lo tanto, las representaciones de espín muy grandes corresponden al límite clásico. Hay muchos trabajos que discuten la cuantización de la constante de Planck, véase, por ejemplo, el siguiente trabajo de Eli Hawkins.

Estos dos ejemplos ilustran la diferencia en las nociones de la constante de Planck en diferentes sistemas cuánticos y por qué el problema conceptual de la unicidad de la constante de Planck sigue abierto.