¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que el anverso y el reverso de una moneda normal aparezcan el mismo número de veces sea el ensayo 2n2n2nth?

Question

¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que el anverso y el reverso de una moneda normal aparezcan el mismo número de veces sea el ensayo 2n2n2nth?

aleatorio
Matemáticas
probabilidad
combinatoria
procesos estocásticos

scott

¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que el anverso y el reverso de una moneda normal aparezcan el mismo número de veces sea la $2n$ el juicio?

La probabilidad de que la primera vez que el número de apariciones del anverso y el reverso de la moneda sean iguales ( $n$ veces cada uno) después de lanzar continuamente una moneda justa $2n$ veces es

\frac{1}{2 norte - 1} (\binom{2 norte}{norte}) \cdot \frac{1}{2^{2 norte}} = \frac{1}{2 norte - 1} \cdot \frac{2 norte \cdot (2 norte - 1) \dots (norte + 1)}{norte \cdot (norte - 1) \dots 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4^{norte}} .

${\small \frac{1}{2n-1}\binom{2n}{n}\cdot\frac{1}{2^{2n}}=\frac{1}{2n-1}\cdot\frac{2n\cdot(2n-1)\cdots(n+1)}{n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot 1}\cdot\frac{1}{4^n}.}$ Por ejemplo, tome

n = 3

$n = 3$ , es decir, tirar una moneda justa

6

$6$ veces continuamente. Después de dos intentos, no puede ser "

1

$1$ parte delantera y

1

$1$ reverso" (solo

2

$2$ lados frontales o

2

$2$ lados traseros); después de la

4

$4$ el juicio, no puede ser

2

$2$ lados frontales y

2

$2$ reversos (solo

3

$3$ lados frontales y

1

$1$ parte trasera, o

1

$1$ parte delantera y

3

$3$ lados traseros); después de la

6

$6$ el juicio, hay

3

$3$ lados frontales y

3

$3$ reversos (el número de apariciones de los dos lados es igual). La probabilidad de este evento es

\frac{1}{6 - 1} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4^{3}} = 0.0625.

$\frac{1}{6-1}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot 1}\cdot\frac{1}{4^3}=0.0625.$ ¿Cómo demostrar los resultados anteriores?

scott

Revisé el detalle de la descripción del problema. Por favor mira lo que no entiendes?

NF Taussig

¿Está preguntando por la probabilidad de que la primera vez que el número de veces que el anverso y el reverso de la moneda hayan aparecido el mismo número de veces sea el

2 n

$2n$ el juicio?

scott

Sí, me refiero a lo que dijiste.

GEdgar

La pregunta parece interesante. Probablemente probaría una función generadora.

mateo h

¿Has oído hablar de los números catalanes y las palabras de Dyck?

marcavs

Es lo mismo que considerar la

(+ 1, - 1)

$(+1,-1)$ caminar al azar

Z

$\mathbb Z$ y pregunte cuál es la probabilidad de retorno en

2 n

$2n$ pasos.

Respuestas (1)

¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que el anverso y el reverso de una moneda normal aparezcan el mismo número de veces sea el ensayo 2n2n2nth?

Revisé el detalle de la descripción del problema. Por favor mira lo que no entiendes?
¿Está preguntando por la probabilidad de que la primera vez que el número de veces que el anverso y el reverso de la moneda hayan aparecido el mismo número de veces sea el $2n$ el juicio?
La pregunta parece interesante. Probablemente probaría una función generadora.
¿Has oído hablar de los números catalanes y las palabras de Dyck?
Es lo mismo que considerar la $(+1,-1)$ caminar al azar $\mathbb Z$ y pregunte cuál es la probabilidad de retorno en $2n$ pasos.

Cabina G · Answer 1

Consideremos una secuencia de ensayos de Bernouilli, con probabilidad $p$ de exito y $q= 1-p$ del fracaso, y representémoslo como un camino con pasos $E-N$ en una red cuadrada.

Ahora estás buscando la probabilidad de tomar un camino desde $(0,0)$ lo que significa también sin cruzarlo.
Entonces los caminos posibles son aquellos que, aparte del tramo inicial y final, quedan dentro del triángulo inferior $(1,0),(n,0),(n,n-1)$ o dentro del triángulo superior simétrico.

Se sabe que el número de caminos dentro de cada triángulo viene dado por el Número Catalán $C_{n-1}$ .

Por lo tanto la probabilidad $P(n)$ lo que buscas es

PAG (norte) = 2 pag (C_{norte - 1} {pag}^{norte - 1} q^{norte - 1}) q = \frac{2}{norte} (\begin{matrix} 2 (norte - 1) \\ norte - 1 \end{matrix}) {pag}^{norte} q^{norte}

$P(n) = 2p\left( {C_{n - 1} p^{n - 1} q^{n - 1} } \right)q = {2 \over n}\left( \matrix{ 2\left( {n - 1} \right) \cr n - 1 \cr} \right)p^n q^n$

que para $p=q=1/2$ y para $n=1, 2, \cdots,6$ da

1 / 2, 1 / 8, 1 / dieciséis, 5 / 128, 7 / 256, 21 / 1024

$1/2, \; 1/8, \; 1/16, \; 5/128, \; 7/256, \; 21/1024$ que comprueba con los cálculos.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que el anverso y el reverso de una moneda normal aparezcan el mismo número de veces sea el ensayo 2n2n2nth?

scott

scott

NF Taussig

scott

GEdgar

mateo h

marcavs

Respuestas (1)

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