¿Cuál es la probabilidad de que el valor esperado sea el valor real en este experimento?

Supongamos que tengo una bolsa llena de 100 bolas, algunas de ellas azules. Tomo al azar una sola bola de esta bolsa y observo su color. Repito este experimento varias veces y concluyo que 20 por ciento del tiempo, he recogido una bola azul. A partir de aquí, puedo decir que la probabilidad de que obtenga una bola azul es 0.2 .

Sin embargo, sabemos por la definición de probabilidad que el número de bolas azules en la bolsa es simplemente el número total de bolas multiplicado por la probabilidad de obtener una sola bola azul. Haciendo esto en el ejemplo anterior, obtendría 20 bolas azules en la bolsa. Esto no es más que el valor esperado de la cantidad de bolas azules en mi bolsa.

Ahora vamos a vaciar la bolsa, y comprobar todo 100 pelotas. ¿Cuál sería la probabilidad de que en realidad haya 20 bolas azules en la bolsa? Creo que esto tomaría la forma de alguna distribución, pero no sé qué ni cómo.

Sin embargo, en el experimento inicial, donde recogí una sola bola para verificar su color y lo repetí muchas veces para obtener la probabilidad de obtener una bola azul, obtuve PAG ( b ) = 0.2 . A partir de aquí calculé ⟨ b ⟩ = 0.2 × 100 = 20 . Dado que este es el valor esperado y no el valor real, puedo decir PAG ( b = ⟨ b ⟩ ) < 1 .

Sin embargo, si repetí la prueba infinitas veces y noté que en exactamente 20 por ciento de las veces obtengo una bola azul, ¿puedo decir que la cantidad real de bolas azules en la bolsa es igual al valor esperado de la cantidad de bolas azules?

Eso es, PAG ( b = ⟨ b ⟩ ) = 1 , cuando he hecho un número infinito de intentos para obtener la probabilidad de obtener una sola bola azul de una bolsa.

Segunda pregunta: ¿A qué te refieres cuando dices hallar la probabilidad de que 20 las bolas son azules? ¿Nos pide encontrar la probabilidad de que haya 20 bolas azules en la bolsa, o está preguntando la probabilidad de que si sacamos 20 bolas al azar, ¿todas serían azules?

En esencia, está preguntando la probabilidad de que haya 20 bolas azules en la bolsa, lo mismo que preguntar la probabilidad de que si sacas 20 bolas al azar, ¿todas serían azules?

"¿Qué quieres decir cuando dices encontrar la probabilidad de que 20 bolas sean azules?" ¿Alguien te hizo esta pregunta? Si es así, es importante saber qué dijeron antes (y quizás después) de esa pregunta. Normalmente no se le haría una pregunta de este tipo en un ejercicio de probabilidad sin otra información importante relevante para esa pregunta en particular.
Realmente no hay una manera de realizar el proceso un número infinito de veces y sacar el promedio. No es posible sacar el promedio de un conjunto contablemente infinito.
@DavidK te refieres a algo como: deberían preguntar algo como, si elegimos 20 bolas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 20 los azules ? O tal vez algo como cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 20 bolas azules en la bolsa. ¿Son estas preguntas válidas?
@ThomasAndrews sí, pero si ejecutamos la prueba más y más veces y obtenemos una probabilidad cada vez más refinada de obtener una bola azul de cien, ¿no debería el valor esperado (número de bolas multiplicado por probabilidad de obtener una bola azul) tienden cada vez más hacia el número real de bolas azules dentro de la bolsa?
Tengo en mente preguntas como: "Hay tres bolsas, una que contiene 30 azul y 70 canicas blancas, una que contiene 20 azul y 80 canicas blancas, y otra que contiene 10 azul y 90 canicas blancas. Elijo una bolsa al azar, luego saco canicas con reemplazo ___ veces y observo que ___ de ellas son azules. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 20 canicas azules en la bolsa?"
@DavidK no es lo mismo que preguntar cuál es la probabilidad de que las canicas provengan de la segunda bolsa, ya que ya hemos establecido que hay 20 azules ahí?
Sí, lo es. Y en realidad puedes calcular la probabilidad de ese evento porque comienzas con una probabilidad previa ( 1 / 3 , suponiendo que cada bolsa tiene la misma probabilidad de ser elegida) antes de observar las canicas.

Respuestas (1)

20 por ciento del tiempo, he recogido una bola azul. A partir de aquí, puedo decir que la probabilidad de que obtenga una bola azul es 0.2 .

Sí, basado en la interpretación empírica/frecuentista de la probabilidad .

Sin embargo, sabemos por la definición de probabilidad que el número de bolas azules en la bolsa es simplemente el número total de bolas multiplicado por la probabilidad de obtener una sola bola azul.

En su lugar , la última línea debería decir "multiplicado por la probabilidad de obtener una bola azul en un solo sorteo ".

Tenga en cuenta que aquí nos basamos en la interpretación clásica (igualdad de posibilidades) de la probabilidad .

Haciendo esto en el ejemplo anterior, obtendría 20 bolas azules en la bolsa. Esto no es más que el valor esperado de la cantidad de bolas azules en mi bolsa.

Sí: obtuvo (estimó) empíricamente la expectativa de un experimento binomial, calculó su probabilidad, derivó la expectativa del correspondiente 100 -Experimento de prueba para finalmente inferir una estimación del número esperado de bolas en su bolsa.

Sin embargo, si repetí la prueba infinitas veces y observé que exactamente el 20 por ciento de las veces obtengo una bola azul, ¿puedo decir que la cantidad real de bolas azules en la bolsa es igual al valor esperado de la cantidad de bolas azules? bolas azules ?

Sí, bajo los supuestos de la probabilidad clásica, el número real de bolas azules en su bolsa es igual a su valor límite esperado.

¿Cuál sería la probabilidad de que en realidad haya 20 bolas azules en la bolsa? Creo que esto tomaría la forma de alguna distribución, pero no sé qué ni cómo.

El número de bolas azules en tu bolsa es una variable aleatoria y, de hecho, tiene una distribución de probabilidad. Usando la distribución Binomial y la probabilidad estimada 0.2,

PAG ( bolsa tiene  20  bolas azules ) = ( 100 20 ) 0.2 20 0.8 80 = 9.93 % .

y no el valor real, puedo decir PAG ( b = ⟨ b ⟩ ) < 1 .

Basado en la interpretación epistémica/subjetiva/bayesiana de la probabilidad :

  • si sabes que en realidad hay 20 bolas azules, entonces PAG ( b = 20 ) = 1 ;
  • si sabes que en realidad no hay 20 bolas azules, entonces PAG ( b = 20 ) = 0 ;
  • 0 < PAG ( b = 20 ) < 1 si y solo si no conoce el número real de bolas azules (independientemente de si realmente hay 20 bolas azules).

Segunda pregunta: ¿A qué te refieres cuando dices encontrar la probabilidad de que 20 las pelotas son azules?

¿Nos pide encontrar la probabilidad de que haya 20 bolas azules en la bolsa,

Estas son imposibles de responder sin más contexto. Opuesto a 23 las bolas son azules? Opuesto a 20 las bolas son rojas? ¿Cuál es el experimento (¿cuántos sorteos hay? ¿se reemplazan las bolas después de cada sorteo? etc.), y cuál es el espacio muestral? Etc.

o está preguntando la probabilidad de que si elegimos 20 bolas al azar, ¿todas serían azules?

Posiblemente. Acabas de proporcionar algo de contexto; el escenario aún debe completarse antes de que podamos elegir alguna interpretación de probabilidad y elaborar una respuesta.

Muchas gracias. Sin embargo, mi confusión se refería principalmente a la mecánica estadística y la distribución de Boltzmann. Si la probabilidad de que una sola partícula tenga una energía particular está dada por pag i usando la distribución de Boltzmann, entonces podemos decir que el número de partículas con energía mi es algo norte = norte ∗ pag i , dónde norte es el número total de partículas en el sistema.
Sin embargo, esto crea un problema. Supongamos que ahora quiero encontrar la probabilidad de que todos norte las partículas en el sistema tienen la energía mi . Matemáticamente, esto estaría dado por pag i norte , multiplico la probabilidad de que todas las partículas tengan esa energía.
Por lo tanto, obtendría alguna respuesta. Sin embargo, ya he establecido que norte Las partículas tienen la energía mi . Entonces, ¿no debería la probabilidad de que todas las partículas tengan energía mi ser 0 ?
¿Qué me estoy perdiendo aquí, si pudieras señalarlo?
Ninguna afirmación en sus dos primeros comentarios suena correcta, de acuerdo con la probabilidad elemental.
Creo que lo entiendo ahora. Solo porque no sé el número real de bolas en la bolsa, se convierte en una distribución con diferentes probabilidades. Sin embargo, ¿qué pasaría si realmente supiera la probabilidad de obtener una sola bola azul, no mediante el uso de muestreo, sino de alguna otra fuente, como la distribución de Gibbs? En ese caso, ¿el número de bolas en la bolsa seguirá siendo una distribución?
con respecto al hecho de que el verdadero número de bolas azules es de hecho una distribución, ¿hay alguna forma de averiguar qué distribución sería? Sé que no sería una distribución binomial, pero de todos modos para saber cuál sería en realidad. Tal vez una distribución de veneno tal vez o algo similar, ya que conozco la media.
@RayPalmer ¿La cantidad de bolas azules en su bolsa no se distribuiría binomialmente, con parámetros? norte = 100 , pag = <esa probabilidad que obtuviste de Gibbs y no del muestreo>?
sí, esa fue mi suposición inicial, pero mi razonamiento es que el número de bolas es una variable aleatoria solo porque no estamos seguros de cuál es la probabilidad exacta. Sin embargo, la respuesta que conocemos está muy cerca de la verdadera probabilidad, por lo que no deberíamos tener una probabilidad mucho mayor de obtener 20 de lo que predice la distribución. Y cuanto más converjamos en la verdadera probabilidad, ¿no debería la distribución predecir que hay un 100 porcentaje de probabilidad?
Se puede razonar que la distribución básicamente predice que hay una 75 porcentaje de posibilidades de conseguir entre dieciséis y 24 bolas (dentro de una desviación estándar), pero dado que la probabilidad es tan cercana a la verdadera, supongo que una probabilidad más alta
@RayPalmer Sabiendo que P (obtener seis en una tirada de dado) es exactamente 1 6 no hace que 'el número de seises obtenidos en una tirada de dado' sea menos una variable aleatoria. La falta de exactitud se debe simplemente a las raíces empíricas de nuestra inferencia; 'aleatorio' y 'exacto' no están en los extremos opuestos de un espectro. Esta es una respuesta anterior que escribí ..
Ah, básicamente, cualquier cosa que no sepa sería una variable aleatoria y, por lo tanto, tiene alguna distribución. En este caso, el número de bolas en una bolsa, que suele definirse en la mayoría de los problemas, es una variable aleatoria simplemente porque no lo sé. No importa qué tan cerca esté de la verdadera probabilidad de elegir una bola al azar, el número total seguirá siendo aleatorio hasta que encuentre la probabilidad exacta. Luego, usando la definición clásica, puedo deshacerme de la distribución y afirmar que debe haber 20 pelotas. Algo como eso ?
@RayPalmer Tienes la probabilidad exacta ( 1 2 ) de colas en un solo ensayo; el numero de colas en 770 los ensayos siguen siendo aleatorios; usas (no descartas) su distribución para hacer la mejor conjetura 335 del número de cruces en el torneo de lanzamiento de monedas de ayer/mañana, y para predecir el 0.00082 % probabilidad de obtener exactamente 329 cruz.
sí, pero a diferencia del lanzamiento de una moneda o de un dado, en realidad hay un número real de bolas azules, que no cambiaría en cada experimento. Simplemente no sabemos su valor, eso lo hace aleatorio. ¿Cómo podemos demostrar que con intentos infinitos en realidad sería 20?
@RayP Dije "ayer/mañana" precisamente para indicar que puede ver la situación de manera equivalente de manera predictiva/retrospectiva (en sus palabras, también hay una cantidad real real de cruces). Su distribución de bolas azules se derivó empíricamente (a medida que el número de intentos se acerca al infinito, su probabilidad ESTIMADA naturalmente se vuelve más precisa); si OTOH hubieras comenzado sabiendo que hay 20 bolas azules (⇒ prob=20%), entonces, por supuesto, podemos derivar de la definición que de hecho hay 20 bolas azules. Tu confusión proviene del razonamiento circular.
Lea lentamente mis dos respuestas publicadas; entre ellos contienen las respuestas a sus preguntas publicadas de la 2 a la 4.
Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .
¿Cuál es la probabilidad de que el valor esperado sea el valor real en este experimento?
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