¿Cuál es la "masa" de un punto de Lagrange?

Los puntos de Lagrange... pueden ser orbitados por asteroides, satélites y cualquier otro objeto útil o interesante. Sin embargo, asumiendo el movimiento de dos cuerpos...

Primero una nota rápida; la estabilidad de un punto de Lagrange en sí no es un predictor de la estabilidad de una órbita asociada ("alrededor") de él.

• ¿Son algunas órbitas de Halo realmente estables? (órbitas estables sobre puntos de Lagrange inestables)

Estoy seguro de que el OP sabe que no hay ninguna masa real en un punto de Lagrange al que los objetos sean atraídos gravitacionalmente, pero es interesante preguntarse si se puede derivar algo así como una "masa efectiva".

Tenemos que seguir recordándonos que las órbitas asociadas con los puntos de Lagrange son realmente órbitas alrededor del cuerpo primario que están simplemente en resonancia 1:1 con el secundario.

Ver también esta respuesta

Creo que es más fácil hablar de órbitas de halo asociadas con (alrededor) Sol-Tierra L1, pero esto se aplicará a cualquier punto de Lagrange en un sistema circular restringido de tres cuerpos.

A 1,5 millones de km de la Tierra, el SE L1 está un 1 % más cerca del Sol que la Tierra, por lo que normalmente debería tener un período un 1,5 % más corto y orbitar alrededor del Sol un 0,5 % más rápido. Pero al estar 99 veces más cerca de la Tierra que del Sol, está influenciado por la gravedad de la Tierra.

Esto es suficiente para fijar el objeto en una órbita resonante 1:1; el objeto se mueve en una órbita ondulada alrededor del Sol con el mismo período que la Tierra, a veces acelerando un poco y luego retrocediendo por él.

Solo cuando miramos en el marco sinódico , un marco giratorio en el que el Sol y la Tierra parecen estar fijos, parece que el objeto está orbitando el punto de Lagrange. Es una especie de ilusión óptica; realmente no lo es

Respuesta(s) a ¿Qué tipo de elementos orbitales se utilizan para describir las órbitas de halo? explique que en realidad no hay elementos orbitales propios sobre los puntos de Lagrange porque, para empezar, en realidad no son órbitas propias.

Son danzas de tres cuerpos.

Aquí hay una animación de la órbita de JWST. Se trata de L2, no de L4 o L5, y no está a escala, pero al menos ayuda a ilustrar que las órbitas asociadas con los puntos de Lagrange están sobre el cuerpo primario, y cuando se ven en un marco inercial definitivamente no están "alrededor" del punto de Lagrange.

Baje el volumen (o apáguelo) antes de jugar:

Un fragmento de la versión completa Lanzamiento e implementación del telescopio espacial James Webb

Cuando consideramos la masa alrededor de la cual algo está orbitando, asumimos un potencial gravitacional correspondiente a una fuerza del cuadrado inverso , que corresponde a una masa puntual o, según el teorema de la capa de Newton , a una masa esféricamente simétrica. Es esta situación en la que cualquier dinámica orbital de 2 cuerpos puede reducirse a las leyes de Kepler, con períodos que dependen del semieje mayor.

En cualquier otro potencial, la dinámica será diferente. El potencial gravitacional efectivo cerca de los puntos de Lagrange se describe mejor mediante la expansión de Taylor como un polinomio , que es muy diferente del cuadrado inverso con su caída -∞ en cero. Por lo tanto, no tiene sentido atribuir a este potencial una "masa".

Mientras pedía una "masa efectiva$M$de un punto de Lagrange $P$no tiene sentido, todavía tiene sentido preguntar sobre el campo efectivo (conocido como$g$) en un barrio de$P$. Es (menos) el gradiente (de la suma) del potencial gravitacional y centrífugo, cf. Figura 1.

$\uparrow$Fig. 1: El plano orbital 2D con líneas equipotenciales y los 5 puntos de Lagrange. (De Wikipedia .)

El campo efectivo desaparece por definición en$P$. ($\leftarrow$La oración anterior es esencialmente por qué no hace pedir una "masa efectiva$M$" de$P$.)

Restringiendo por simplicidad al movimiento en el plano orbital 2D, una masa de prueba$m$(sin propulsión) no se desplazará en la dirección del campo sino perpendicular a él (a lo largo de líneas equipotenciales) debido a la fuerza de Coriolis . La deriva a menudo se superpone con un movimiento circular de velocidad angular$-2\Omega$, cf. Figura 2.

$\uparrow$Fig. 2: Una posible órbita en herradura a lo largo de líneas equipotenciales.$\star$es el Sol, mientras que$\bullet$es Júpiter.

Más generalmente, si$m$está situado lejos del plano orbital 2D, deberíamos superponer un movimiento oscilatorio perpendicular al plano.

Para obtener una derivación, fórmulas explícitas y más información, consulte, por ejemplo, la parte III de mi respuesta Phys.SE aquí .