¿La trayectoria de un objeto que orbita un planeta depende de la masa del objeto? (Con ejemplo hipotético de Apolo)

Aproximadamente, si. Los efectos gravitacionales brutos sobre las trayectorias de la nave espacial y el otro objeto serán los mismos.

La fuerza de gravedad entre dos objetos es proporcional al producto de sus masas; por$F = m a$, la aceleración de cada objeto anula su propia masa ($a = \frac {F} {m}$) y por lo tanto depende de la masa del otro objeto.

Sin embargo, dado que el rayo se encuentra en una ubicación ligeramente diferente en relación con la Tierra y la Luna durante el viaje, la influencia de la gravedad sobre él será ligeramente diferente en cantidad y dirección, por lo que no seguirá una trayectoria exactamente paralela. Sin embargo, estará extremadamente cerca y, en la práctica, creo que la diferencia en la influencia gravitatoria será pequeña en comparación con la dificultad de liberar el objeto con una velocidad inicial exactamente cero en relación con la nave espacial. También habría otros factores de confusión: la presión solar sobre los dos cuerpos los desviaría de su curso en diferentes cantidades, la nave espacial ventilará varias cosas que la empujarán, etc.

La aceleración debida a la gravedad será idéntica independientemente de la masa, suponiendo que la masa de tu nave espacial sea insignificante en comparación con la masa del objeto que estás orbitando. Por ejemplo, la luna de la Tierra es lo suficientemente grande como para efectuar el movimiento de la tierra, por lo que no orbita el centro de la tierra, sino que orbita el centro de masa compartido de la Tierra y la luna (baricentro ) . Estrictamente, esto es cierto para cualquier cuerpo en órbita, pero para objetos pequeños es realista suponer que el baricentro es el centro de la tierra.

Sin embargo, la gravedad no es la única fuerza que actúa sobre la nave espacial, aunque será más intensa hasta que entre en la atmósfera terrestre. El arrastre de la atmósfera superior de la Tierra probablemente se notará por debajo de los 2000 km de altitud y acelerará los dos objetos a diferentes velocidades, lo que hará que diverjan. Además, la presión de la radiación solar los acelerará a diferentes velocidades, pero esta fuerza es tan pequeña que tardaría más de una sola órbita en notarse.

Entonces, los dos objetos permanecerían aproximadamente a la misma distancia hasta que los efectos del arrastre en la atmósfera superior comiencen a ser medibles.

Lo que las otras respuestas no mencionan es que la masa de su objeto en órbita en realidad se cancela. No importa. Vea estas dos ecuaciones:

(1)$F_1 = F_2 = G m_1 m_2 / r^2$

(2)$F_1 = m_1 a_1$

Donde F es la fuerza, G es la constante gravitatoria universal, m es la masa y r es la distancia entre los centros de masa de los cuerpos en órbita y en órbita en cuestión. El 1 y el 2 representan el objeto en cuestión, por ejemplo$m_1$es la masa del objeto 1 y$F_1$es la fuerza ejercida sobre el objeto 1.

De este modo,

$a_1 = G m_2 / r^2$

es decir, la masa del objeto en órbita no influye en su aceleración de ninguna manera.

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Esta es una respuesta tardía; una pregunta estrechamente relacionada se cerró recientemente como un duplicado de esto.

¿La trayectoria de un objeto que orbita un planeta depende de la masa del objeto?

Sí, lo hace.

Varias de las respuestas invocan correctamente el principio de la universalidad de la caída libre, que dicta que la aceleración desde la perspectiva de un marco de referencia inercial de un objeto hacia la Tierra es independiente de la masa del objeto. Lo que estas respuestas pasan por alto es que la universalidad de la caída libre también dicta que la Tierra debe estar acelerando hacia el objeto en órbita, y esta aceleración es directamente proporcional a la masa del objeto.

Esto significa que el período orbital de un objeto que gira alrededor de la Tierra es

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}$$ dónde$a$es la longitud del semieje mayor de la órbita,$G$es la constante gravitatoria newtoniana,$M$es la masa de la Tierra, y$m$es la masa del objeto en órbita. Esta es la versión newtoniana de la tercera ley de Kepler.

En un universo teórico en el que nuestra Luna fuera reemplazada por un objeto del tamaño de la Tierra que orbita a 385 000 km, ese objeto del tamaño de la Tierra y la Tierra se orbitarían entre sí en 19,3 días en lugar de 27,3 días, la duración de un mes sideral. En otro universo teórico en el que nuestra Luna fue reemplazada por una diminuta roca que orbita a 385 000 km, la diminuta roca orbitaría la Tierra en 27,5 días en lugar de 27,3 días.

Esta es una respuesta tardía; una pregunta estrechamente relacionada se cerró recientemente como un duplicado de esto.

¿La masa del cuerpo en órbita afecta la velocidad orbital?

tl; dr: Sí, siempre lo hace, aproximadamente la mitad. Si es pequeño, como una millonésima parte de la masa del primario, el cambio de velocidad es la mitad de una millonésima, por ejemplo. En el caso extremo, cuando las dos masas son iguales, la tendencia se rompe y la velocidad ahora es del 70,7 % ($\sqrt{1/2}$) en lugar de la mitad.

Si quitaras la Luna y pusieras una pequeña roca allí, orbitaría un 0,6% más rápido que la Luna. Júpiter es aproximadamente 1/1000 del Sol o 0,1% de la masa. Si quitaras a Júpiter y pusieras un pequeño planeta allí, ¡orbitaría un 0,05% más rápido que Júpiter!

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El problema de dos cuerpos y la órbita circular de Wikipedia son útiles, pero descubrí que la página 15 de cnx.org. Sistema de dos cuerpos: el movimiento circular tiene un tratamiento particularmente directo del problema circular de dos cuerpos.

Licencia Commons Attribution 4.0.

Usar

$$r = r_1 + r_2$$

$$m_1 r_1 = m_2 r_2$$

$$\frac{v_1}{r_1} = \frac{v_2}{r_2}$$

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \ \ \text{ orbital angular speed}$$

$$M = m_1 + m_2$$

$$m_2 = M\frac{r_1}{r_1 + r_2}$$

...luego suceden algunas matemáticas y física...

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} = sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}$$

La velocidad orbital de cada cuerpo sería simplemente la velocidad angular$omega$veces el radio de cada cuerpo:

$$v_1 = \omega r_1$$

$$v_2 = \omega r_2$$

$$r2 = r \frac{m_1}{M}$$

$$v_2 = \omega r_2 = \omega r \frac{m_1}{M} = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}} r \frac{m_1}{M}$$

Se puede demostrar que si$m_1$(es decir, la masa de la Tierra) es constante y la separación entre los dos$r$es constante, entonces el cambio de velocidad es la mitad de rápido que la relación de masas, siempre que sea bastante pequeño.

Por ejemplo, si la masa del objeto pequeño es una millonésima parte de la masa del objeto grande, entonces el cambio de velocidad (en comparación con el objeto pequeño sin masa) es la mitad de una millonésima .

Para la Luna hemos dicho$m_2 = m_1 / 81$, entonces

$v_2$= 0.9939$r_2$= 0.9878$\omega$= 1,0062 y$\omega r_2$= 0.9939

La luna, que tiene el 1,23 % de la masa de la Tierra, se movería un 0,61 % más lento que un pequeño satélite.

Esta tendencia de "la mitad de la diferencia" se rompe cuando las dos masas se acercan a la igualdad.

Si el segundo objeto tuviera la misma masa que la Tierra, esta tendencia dice que la velocidad sería la mitad de la del pequeño satélite, pero resulta que la velocidad es$\sqrt{1/2}$o 70,7% en lugar de 50%.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m1 = 1.0

m2 = np.logspace(-10, 0, 101)

M = m1 + m2

r = 1.0
G = 1

omega = np.sqrt(G * M / r**3)
r2  = r * m1 / M
v2 = omega * r2

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(m2, v2)
plt.xscale('log')
plt.ylim(None, 1.02)
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(m2, 1 - v2)
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('m2 with m1 = 1')
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.suptitle('G = r = m1 = 1')
plt.show()