¿Qué determina la velocidad orbital alrededor de un punto de Lagrange?

¿Qué valor de M debo usar para calcular la velocidad de un satélite que orbita un punto de Lagrange donde no existe masa?

Especulación de mi parte: el cuerpo central y en órbita ejercen fuerzas fácilmente calculadas sobre un punto en una ubicación determinada. La llamada fuerza centrífuga también está en la mezcla. Todas las componentes de estas fuerzas paralelas a la línea baricéntrica se cancelan. Lo que te queda es la suma de los componentes de la gravedad tirando hacia el punto L. El ω^2r de la órbita del halo necesita cancelar esta fuerza que tira hacia el punto L.
La fuerza centrífuga de @HopDavid se usa solo si está resolviendo el problema en el marco giratorio, y eso se hace solo como un atajo matemático. No hay nada sobre el problema de los tres cuerpos que requiera cambiar a marcos giratorios o usar potenciales efectivos, excepto la elegancia, la eficacia y la tradición (hábito).
@uhoh Algo en una órbita de halo está en un marco giratorio.
@HopDavid Para mí, un marco giratorio es solo un concepto abstracto, una herramienta que usan los humanos al calcular o una casilla de verificación en un programa de visualización. Es la misma órbita cuando se ve en cualquier marco que uno elija. Visto por una persona en un marco giratorio, parece más "halo" que visto en un marco inercial, pero el hecho de que un satélite esté un 1% más cerca del sol y, sin embargo, no gire a su alrededor más rápido que la Tierra (en promedio), y se mueve extrañamente hacia arriba y hacia abajo fuera de la eclíptica significa que el halo todavía está allí. Los marcos existen en nuestras cabezas. No es como si diferentes objetos/órbitas estuvieran "en" marcos diferentes
@HopDavid encontró un buen video, enlazado aquí .

Respuestas (3)

Este video muestra un telescopio en una órbita Halo o Lissajous cerca del punto Sol-Tierra L2. Moviéndose lentamente y trazando su camino tanto en marcos inerciales como giratorios (sinódicos), puede ver que la órbita es principalmente alrededor del sol, y la "órbita alrededor" del punto de libración es una construcción que surge de hacer las matemáticas o pensar en un marco giratorio:

¡Primero baja o apaga el audio !

Aquí hay una forma simplificada de ver la situación:

Las órbitas son los caminos que siguen los cuerpos en respuesta a las fuerzas.

Las fuerzas son los gradientes de potenciales.

Para un pequeño planeta alrededor de una gran estrella, el potencial es

ϕ ( r )   =   GRAMO METRO 1 r

entonces la fuerza que siente el planeta es

F ( r )   =   − GRAMO METRO 1 r 2

señaló hacia la estrella. Cuando lees sobre las órbitas keplerianas, estás leyendo solo sobre esta situación, o una versión ligeramente modificada en la que el planeta es más grande y tratas a los dos como si orbitaran alrededor de su centro de masa.

En notación vectorial, puede cambiar la fuerza a

F ( r )   =   − GRAMO METRO r r 3

Si calcula la trayectoria de cuerpos con varias condiciones iniciales en este campo de fuerza , todas serán órbitas keplerianas.

En un problema de tres cuerpos, y sigamos con el simple "problema circular restringido de tres cuerpos (CR3BP)" donde hay dos cuerpos principales (un sol y un planeta grande, por ejemplo) en órbitas circulares alrededor de su centro de masa, el potencial campo y la fuerza resultante que siente el tercer cuerpo (tan pequeño que puede tratar su masa como cero) es

ϕ ( r )   =   GRAMO METRO 1 1 r 1 + GRAMO METRO 2 1 r 2

F ( r )   =   − GRAMO METRO 1 r 1 r 1 3 − GRAMO METRO 2 r 2 r 2 3

dónde r 1 y r 2 son los vectores que apuntan desde cada uno de los dos cuerpos principales al tercer cuerpo. Ahora la forma del potencial está cambiando constantemente. Dado que el problema se mantiene simple al requerir que los dos cuerpos estén en órbitas circulares uno alrededor del otro, el campo potencial simplemente gira.

Esto significa que el campo de fuerza también gira, y la órbita del tercer cuerpo estará determinada por su velocidad inicial y la aceleración debida a ese campo de fuerza giratorio.

La órbita resultante puede ser todo tipo de locuras, pero no será una buena órbita kepleriana, por lo que no se aplica ninguna de esas matemáticas.

Para resolver matemáticamente las órbitas en este problema, los matemáticos y los mecánicos orbitales a menudo cambian para hacer sus cálculos en un marco giratorio, uno que gira con los dos cuerpos principales. En este marco, crean un pseudopotencial con un término llamado "potencial centrífugo", que en realidad es solo una forma de fingir que el marco no está girando.

En otras palabras, en el marco giratorio, junto con el potencial gravitacional real de los dos cuerpos (arriba) que no se ve afectado por la rotación, y cuyo gradiente produce el campo de fuerza como se muestra arriba, se agrega un término de potencial efectivo tal que su gradiente produce una fuerza centrífuga ficticia.

Las órbitas resultantes pueden tener todo tipo de formas locas, pero dado que no son soluciones de un campo potencial simple de 1/r, no serán keplerianas, por lo que no puedes intentar representarlas con una masa central M.

Dado que las órbitas no son keplerianas, ¿puede una órbita de halo más alta (más grande) en relación con un punto lagrangiano tener una velocidad más alta que una más baja? La distancia al punto L no ocurre directamente en las matemáticas.
Si este comentario no respondió a su pregunta, ¡mejor haga uno nuevo! (nota que es 2 π y no 2 π 2 π ).
@LocalFluff Hay versiones animadas de estas imágenes en alguna parte, pero no puedo encontrarlas ahora. Cuando observa este tipo de órbitas de puntos de libración en un marco inercial, ve que simplemente están orbitando alrededor del sol como lo describí aquí . Esto también puede ser útil: ccar.colorado.edu/geryon/Slides/Slide03.html
Veo. Simplemente parecen orbitar un punto. Pero solo están cambiando su inclinación y distancia solar para que parezcan "como si" orbitaran un punto de equilibrio invisible.
Creo que puede ser una buena manera de decirlo. La frase "dar la vuelta" a algo en realidad solo significa dar la vuelta, y no dice nada sobre la causa, pero como @HopDavid sugiere aquí , "dar la vuelta" al punto solo ocurre si lo miras de forma giratoria. marco (sinódico). En un marco fijo, realmente está girando alrededor del Sol y "moviéndose" cerca del punto de Lagrange. El video que encontré tiene una buena manera de mostrar dos trazos diferentes, uno que gira y el otro que no.

Las trayectorias cerradas alrededor de los puntos Lagrangianos estables (L4 y L5) no son elípticas y no siguen las leyes de Kepler, por lo que no hay ningún valor de M que pueda usar.

Lo mismo es cierto para las "órbitas" cuasi periódicas de Lissajous alrededor de los puntos inestables L1, L2 y L3.

Bingo. Ya no se trata de un problema de dos cuerpos.
¿Podría una "órbita" más alta tener un período más corto?
@pericynthion en el CR3BP L1, L2, L3 también tiene órbitas periódicas de halo cerrado, además de las órbitas funky de Lissajous. En el mundo real de n cuerpos, ninguna órbita es estrictamente cerrada o estrictamente periódica.
@LocalFluff Estas órbitas de halo (como muchas) tienen un período de aproximadamente la mitad de la órbita principal de dos cuerpos (que es 2π2π en este ejemplo adimensional ), y de hecho se acortan a medida que la órbita se vuelve "más alta" (en este caso más lejos de L2). Entonces, si observa los satélites en órbitas de halo o Lissajous alrededor de un Sol-Tierra L1 o L2, tienen, en términos generales, "períodos" de órbita de cinco o seis meses, donde el período está bastante bien definido para un halo, y menos para un Lisajous. Hay todo tipo de otros cuasi-periódicos también.
@uhoh "y [el período], de hecho, se vuelve más corto a medida que la órbita se vuelve 'más alta'" (en este caso, más lejos de L2)". ¿¡En serio!? Entonces, ¿es una especie de efecto inverso de la ley de Kepler? ¿Y realmente toma 6 meses? para que un telescopio en L2 haga una órbita de halo? Eso es muy lento. Una órbita de halo difícilmente puede tener más de 1/100 del eje semi-mayor en comparación con la órbita de la Tierra alrededor del Sol. ¿Sigue siendo la mitad del período?
@LocalFluff sí, sí, no, en absoluto, sí, sí, sí y sí. No es ningún tipo de efecto de ley. Es justo lo que sucede en este tipo particular de órbita de 3 cuerpos. Sin reglas, muchas y muchas sorpresas. A menos que profundices en las matemáticas, solo tienes que levantar las manos y cantar youtu.be/azxoVRTwlNg?t=24
@LocalFluff, pero como señalan este comentario y mi respuesta, algo en una órbita de halo sobre Sol-Tierra L1 o L2 está en realidad principalmente en órbita alrededor del Sol , pero la órbita se ve ligeramente modificada por la presencia de la Tierra. Si lo miras en un marco inercial, gira alrededor del sol, se "pega" a la Tierra y se mueve un poco. Si lo miras mientras gira junto con la Tierra, solo entonces esos movimientos se revelan como una manifestación de esa "forma de halo" en el marco giratorio.
@uhoh Se eliminó el video de YouTube al que hace referencia en su comentario. ¿Qué canción era?
@nealmcb ¡guau, eso se ve realmente intrigante! En este momento no tengo idea, pero déjame darle un poco mientras mi café de la mañana comienza a hacer efecto... Hmm... matemáticas... cantar... hmm...

Un satélite en una órbita de halo SEL2 está en órbita alrededor del sol, no L2.

Es tentador ver la órbita del halo como análoga a una órbita kepleriana y buscar una fuerza de atracción hacia el centro del halo. Pero no hay masa L2 ni atracción central.

Hay una fuerza restauradora central, pero está siendo suministrada por la gravedad de la Tierra y del Sol. La mejor analogía es un péndulo que se balancea en un círculo. Parece estar girando alrededor de una fuerza de atracción en el centro de su órbita. Pero en realidad está siendo atraído por el centro de masa de la Tierra. La cuerda del péndulo es análoga a la fuerza centrífuga del satélite invocada por el marco de referencia de rotación.

Si buscas el “valor de M para calcular la velocidad”, utiliza la masa del Sol y la masa de la Tierra, ya que son estos dos cuerpos los que están produciendo la aceleración que mantiene al satélite en su órbita Heliocéntrica.

Sin embargo, supongo que por "calcular la velocidad" te refieres a la velocidad aparente en la órbita del halo (marco de referencia giratorio), no a la velocidad orbital heliocéntrica (en un marco de referencia inercial). Pero ambos son fáciles de aproximar.

La órbita del halo del Satélite se comporta como un oscilador armónico radial (al igual que el péndulo descrito anteriormente) ya que la fuerza de restauración hacia L2 es proporcional al radio de la órbita del halo (no inversamente al cuadrado). Consulte JWST Halo Orbits for Dummies: ¿se pueden aproximar de manera útil las órbitas de halo mediante el movimiento armónico simple?

Dado que el período orbital del halo es bastante constante para los halos L2 (la mitad del período orbital heliocéntrico), la velocidad angular de la órbita del halo también es constante y la velocidad aparente (en un marco de referencia giratorio) es proporcional al radio de la órbita del halo. Divida la circunferencia orbital del halo por 6 meses para obtener la velocidad orbital aparente del halo.

La velocidad orbital heliocéntrica promedio del satélite es la velocidad orbital de la Tierra multiplicada por el radio orbital heliocéntrico del satélite (en AU). Esto se debe a que la velocidad angular del satélite es (en promedio) la misma que la de la Tierra. La órbita heliocéntrica del satélite tiene el mismo período que la órbita de la Tierra a pesar de tener un radio orbital mayor. A primera vista, esto viola las leyes de Kepler ya que una órbita más grande debería tener un período más largo. Sin embargo, dado que los 3 cuerpos son colineales, la atracción gravitacional de la Tierra se suma a la del Sol y el satélite “se siente” como si estuviera en órbita alrededor de una estrella más masiva.

Tal es la magia de los puntos de Lagrange.

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