¿Por qué el vector de excentricidad siempre apunta hacia el periápside de una órbita?

$$\newcommand{\a}{\mathbf{\ddot{\vec{r}}}} \newcommand{\v}{\mathbf{\dot{\vec{r}}}} \newcommand{\x}{\times} \newcommand{\r}{\mathbf{\vec{r}}} \newcommand{\h}{\mathbf{\vec{h}}} \newcommand{\e}{\mathbf{\vec{e}}} \newcommand{\L}{\mathbf{\vec{L}}} \newcommand{\p}{\mathbf{\vec{p}}}\newcommand{\A}{\mathbf{\vec{A}}}\newcommand{\o}{\mathbf{\cdot}}$$

El vector de excentricidad ($\e$) es una cantidad conservada (prueba algo larga y serpenteante al final), por lo que puede calcular su magnitud en cualquier lugar de la órbita que desee, pero hay ciertos lugares donde la respuesta es más fácil de averiguar que otros. Buscar el más fácil de todos lo lleva al periapsis, así que eso es lo que usamos para definir la fórmula estándar.

$\h=\r\x\v$, así que cuando escribes su magnitud escalar, es más fácil hacerlo en apoapsis y periapsis, porque entonces la respuesta es simplemente$r\dot{r}$, la magnitud del radio por la magnitud de la velocidad, sin función trigonométrica del término del ángulo, porque solo a lo largo de la línea de los ábsides hay$\r$y$\v$perpendicular. Luego, cuando tratas de calcular la magnitud de$\r\x\h = \v\x(\r\x\v)$, nuevamente le resultará más fácil hacerlo en el periapsis o en el apoapsis, ya que$r\dot{r}^2$. A cuál de los dos apunta parece cuestión de gustos, pero que apunte a uno de ellos me parece natural.

La prueba que el comentario de David Hammen sugirió que incluyera parece el resultado de lo que se podría llamar una búsqueda de fuerza bruta para cantidades conservadas, en la que el tipo de vectores que uno suele encontrar en problemas de mecánica (posición, velocidad, impulso...) se combinan de varias formas, y tomamos derivadas temporales de todas ellas, en busca de algo que sea igual a cero. ¿Por qué tomamos las derivadas de estos particularescombinaciones, en lugar de muchas otras que podríamos considerar, es porque estas son las que llevaron a físicos como Laplace (en 1799) a encontrar ceros interesantes y publicarlos. Parece un juego de manos: hacer combinaciones aparentemente aleatorias de los vectores de posición y velocidad solo para ver qué sucede, y luego actuar sorprendido de haber tropezado con una fórmula que da la ecuación de la órbita, pero en realidad es solo sabiendo la respuesta y trabajando hacia atrás.

La mayoría de los libros de texto siguen el mismo enfoque básico; por ejemplo, la forma en que Howard Curtis lo maneja en Orbital Mechanics for Engineering Students (4ª edición, páginas 67-74, 2020) sigue de cerca el método de Classical Mechanics de Herbert Goldstein (2ª edición, páginas 102-105, 1980), pero agrega un un montón de imágenes y muestra muchos más pasos intermedios en el álgebra. Aprendí esto de Goldstein, pero él parte de la ecuación de Euler-Lagrange , que no supondré que todos conozcan. Sin embargo, mantendré las cosas tan generales como pueda durante el tiempo que pueda.

A los físicos les gusta el impulso, tanto el impulso lineal ($\p$) y momento angular ($\L=\r\x\p$), en parte porque en muchas situaciones de interés práctico, uno o ambos se conservan , es decir, sus valores no cambian con el tiempo. Expresiones para$\p$puede complicarse un poco, como cuando se introduce el electromagnetismo, pero por ahora consideramos el caso más simple,$\p=m\v$. Entonces$\L=m\r\x\v$, y$\h=\L/m=\r\x\v$. Considere ahora la derivada de$\h$con respecto al tiempo, mediante la regla del producto:

$$\frac{d\h}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\r\x\v\right) = \frac{d\r}{dt}\x\v + \r\x\frac{d\v}{dt} = \v\x\v + \r\x\a$$

Sabemos$\v\x\v$es siempre cero por definición del producto cruz. Para cualquier fuerza que actúe paralela al vector de posición radial,$m\a=\mathbf{\vec{F}}=f(r)\r/r=f(r)\mathbf{\hat{r}}$, entonces$\r\x\a$es proporcional a$\r\x\r$, que también es siempre cero por definición, por lo que para cualquier fuerza de este tipo (que llamamos central ), el momento angular se conserva ($\mathbf{\dot{\vec{L}}}=m\mathbf{\dot{\vec{h}}}=0$). Como eso funcionó bien para nosotros, hagámoslo de nuevo, pero considerando otras dos combinaciones.

Primero, tome la derivada temporal de la magnitud al cuadrado del vector de posición,$r^2=\|\r\|^2=\r\o\r.$Tenemos

$$\frac{d}{dt}r^2 = 2r\dot{r}\ \ \mathrm{and} \ \ \frac{d}{dt}\r\o\r = \v\mathbf{\cdot}\r + \r\o\v = 2\r\o\v\ \ ,$$ que se combinan para decirnos que$\r\o\v=r\dot{r}$, en general. Esta es otra forma de decir movimiento donde$\v$siempre es perpendicular a$\r$es movimiento donde$\dot{r}=0$, lo que significa que el camino es un círculo. Tenga cuidado aquí:$\dot{r}$es la derivada de la magnitud del vector de posición, que generalmente no es igual a la magnitud de la derivada del vector de posición (que es la velocidad, y en movimiento circular, puede ser cualquier cosa). Tenga en cuenta que si las coordenadas se definen con respecto a un observador arbitrario,$r$es la distancia del objeto en movimiento al observador, y$\dot{r}$es la tasa de alcance a la que el objeto se está acercando (negativo$\dot{r}$), alejándose (positivo$\dot{r}$) o manteniéndose a la misma distancia (porque$\v=0$o$\r\o\v=0$), entonces$\dot{r}=\r\o\v/r$da el cambio Doppler multiplicado por la velocidad de la señal.

En segundo lugar, tome la derivada temporal de$\p\x\L = m\v\x m\h$, lo que equivale$m^2\a\x\h$desde$\mathbf{\dot{\vec{h}}}=0$. Ahora comienza la diversión. Si no sabemos nada sobre la ley de la fuerza, tendríamos que parar. Pero, para una fuerza central, sabemos$m\a=f(r)\r/r$, entonces

$$m^2\a\x\h = \frac{mf(r)}{r} \r \x (\r\x\v) = \frac{mf(r)}{r} \left[ \r (\r\mathbf{\cdot}\v) - \v(\r\o\r)\right] = \frac{mf(r)}{r} \left( r\dot{r}\r - r^2\v\right)$$ por medio de una identidad vectorial a menudo llamada la regla "BAC-CAB" .

Tomando otra derivada del tiempo aparentemente al azar,

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\r}{r}\right)=\frac{r\v-\dot{r}\r}{r^2} = \frac{\a\x\h}{r^3} \frac{r}{mf(r)}$$ Esto significa que si$f(r)=-k/r^2$por alguna constante$k$, la fuerza del cuadrado inverso que todos conocemos y amamos (incluida la ley de Gauss en electricidad, así como la ley de gravitación de Newton), entonces $$\frac{d}{dt}\left(\p\x\L\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{mk\r}{r}\right)$$ entonces$\A=\p\x\L-mk\r/r$tiene derivada temporal cero y, por lo tanto, es la cantidad conservada que buscábamos.

Ahora, ¿qué sabemos acerca de$\A$? Bien,$\A\o\L=0$, desde$\L$es perpendicular a$\p\x\L$y$\r$es perpendicular a$\L=\r\x\p$, entonces$\A$debe estar en el mismo plano que$\r$y$\v$. Ahora, escribamos$\A\o\r = Ar\cos\theta$de la forma habitual, con$\theta$como el ángulo entre los vectores$\A$y$\r$. Como el triple producto escalar es cíclico, podemos decir$(\p\x\L)\o\r = (\r\x\p)\o\L = \L\o\L$, entonces$Ar\cos\theta=L^2-mkr$. Reescribir un poco más nos lleva a

$$\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)$$ El último paso es jugar con las ecuaciones de balance de energía para descubrir que la excentricidad de la elipse de la órbita, en términos de su semieje mayor$a$, momento angular$L$, masa$m$y fuerza constante$k$es$e=\sqrt{1-L^2/mka}$, entonces$a(1-e^2)=L^2/mk$, lo que significa que nuestra ecuación para$\A\o\r$da exactamente la fórmula de la órbita elíptica$r=a(1-e^2)/(1+e\cos\theta)$, siempre y cuando$A=mke$y$\theta$es la verdadera anomalía, lo que significa$\A$apunta al periapsis.

Esta prueba se hizo más difícil de seguir a medida que avanzaba, y la última parte está peligrosamente cerca de "y luego ocurre un milagro", pero ya he escrito demasiado por hoy. Si alguien más ve una buena manera de limpiar esto, adelante.