¿Cuál es la forma que tiene el área de superficie más grande con un hipervolumen de 1 en el espacio dimensional NNN?

No existe un límite superior para el área de superficie (equivalente a) para$N \geq 2$. Por ejemplo, con$N = 2$, considere lo que sucede cuando arrugamos la superficie más y más vigorosamente:

El primero es un gráfico polar de$\frac{1}{2\pi}(2+\sin(20 \theta))$para$0 \leq \theta \leq 20$. su perímetro es$14.6\dots$.

El segundo es un gráfico polar de$\frac{1}{2\pi}(2+\sin(200 \theta))$para$0 \leq \theta \leq 20$. su perímetro es$127.6\dots$.

El tercero es un gráfico polar de$\frac{1}{2\pi}(2+\sin(2000 \theta))$para$0 \leq \theta \leq 20$. su perímetro es$1273.2\dots$. El movimiento de ida y vuelta es tan rápido que no hay suficientes píxeles para mostrar los espacios entre los "pétalos" de la curva.

El último es un diagrama polar de$\frac{1}{2\pi}(2+\sin(20\,000 \theta))$para$0 \leq \theta \leq 20$. su perímetro es$12\,732.\dots$. Aunque no podemos ver ninguna diferencia, esta parcela tiene diez veces más pétalos que la anterior.

Debería quedar claro que podemos hacer el mismo tipo de cosas en dimensiones superiores, por lo que no existe un límite superior para (el análogo de) el área de superficie en dimensiones superiores.

No existe tal forma, para cualquier forma con unidad de hipervolumen, podemos crear otra forma con unidad de hipervolumen pero con más área de superficie. Sea S el área de superficie de nuestra forma candidata. Luego, podemos crear una forma con un área de superficie de al menos 2S mediante la construcción de un N-hiperprisma con dos extremos compuestos de hipercuadrados de área S, bordes entre los extremos cuadrados de longitud$\frac 1S$.