¿Cuál es la forma más fácil de encontrar el círculo dados tres puntos?

dados tres puntos ( X 1 , y 1 ) , ( X 2 , y 2 ) , y ( X 3 , y 3 ) , si

y 2 − y 1 X 2 − X 1 ≠ y 3 − y 2 X 3 − X 2 ≠ y 1 − y 3 X 1 − X 3 ,
entonces habrá un círculo que los atraviese. La forma general del círculo es
X 2 + y 2 + d X + mi y + F = 0.
sustituyendo X = X i y y = y i , existirá un sistema de ecuación en tres variables, es decir:

( X 1 y 1 1 X 2 y 2 1 X 3 y 3 1 ) ( d mi F ) = ( − ( X 1 2 + y 1 2 ) − ( X 2 2 + y 2 2 ) − ( X 3 2 + y 3 2 ) ) .

Resolviendo este sistema da la solución

d = ( X 3 2 + y 3 2 − X 1 2 + y 1 2 ) X 1 − X 3 − mi ( y 1 − y 3 X 1 − X 3 ) mi = ( X 3 2 + y 3 2 − X 2 2 + y 2 2 ) ( X 1 − X 3 ) − ( X 3 2 + y 3 2 − X 1 2 + y 1 2 ) ( X 2 − X 3 ) ( y 2 − y 3 ) ( X 1 − X 3 ) − ( y 1 − y 3 ) ( X 2 − X 3 ) F = − ( X 3 2 + y 3 2 ) ( X 1 − X 3 ) − ( y 1 − y 3 ) X 3 X 1 − X 3 − mi ( y 3 ( X 1 − X 3 ) − X 3 ( y 1 − y 3 ) X 1 − X 3 )

Como hay muchas cosas dando vueltas, la solución es propensa a errores. Tal vez esta solución también tenga un error.

¿Hay una mejor manera de resolver la ecuación del círculo?

Puedes usar un 4 × 4 determinante, como se muestra en esta respuesta (y probablemente en muchas más). Expandir el determinante es tedioso , pero completamente mecánico , y el resultado es la ecuación misma; no hay pasos separados para "resolver". Este es el método que utilizo para generar ecuaciones circulares (y, en general, cónicas ), pero realmente ayuda tener una herramienta como Mathematica para realizar la manipulación de símbolos.
Para las coordenadas cartesianas del circuncentro, consulte en.wikipedia.org/wiki/…
Otra ventaja del método del determinante es que maneja las degeneraciones sin problemas: si los puntos dados son colineales (de modo que su círculo tiene un radio infinito ), encontrarás que los coeficientes de X 2 y y 2 calcule naturalmente a cero, sin necesidad de considerar un caso separado. ... Esta es quizás una ventaja mayor con las cónicas (y las curvas de mayor grado): la ecuación general tiene seis coeficientes, pero una cónica está determinada por cinco puntos; usar un método de "resolución" requiere asumir que uno de los coeficientes es distinto de cero, pero no hay forma de saber cuál elegir.
Consulte también Encontrar el centro y el radio de un círculo para la formulación en números complejos, que luego se pueden traducir fácilmente a cartesiano.
¿En qué contexto resuelves esto? ¿Una prueba en papel o una implementación informática? Obtuvo un sistema lineal muy bien estructurado, por lo que de cualquier manera que obtuvo una solución, puede probarla contra ese sistema. En una computadora, uno simplemente pasaría este sistema a un procedimiento de resolución lineal confiable.
@LutzLehmann Es para un papel, aunque se puede aplicar en una computadora.
Entonces dejaría la solución en el sistema, la solución de sistemas lineales es una tarea estándar. No estoy seguro de cuándo uno querría las expresiones racionales, ya sea la eliminación de Gauss o la fórmula de Cramer. Excepto para demostrar que se puede hacer.

Respuestas (4)

Mueva el círculo para que pase por el origen (reste un punto de los tres). La ecuación pierde un coeficiente,

X 2 + y 2 + d X + mi y = 0

que es más fácil de resolver. Luego, haz una traducción inversa.

− d 2 = | X 1 2 + y 1 2 y 1 X 2 2 + y 2 2 y 2 | 2 | X 1 y 1 X 2 y 2 |

− mi 2 = | X 1 X 1 2 + y 1 2 X 2 X 2 2 + y 2 2 | 2 | X 1 y 1 X 2 y 2 |

son las coordenadas del centro en la posición movida.

Esto es más un boceto que una solución completa, pero puede intentar emular la construcción de la regla y el compás. Esto le permite interpretar y así comprobar algunos de los resultados intermedios.

Así que comienza con dos de los tres puntos, encuentra el punto medio y luego establece la ecuación para la línea que pasa por el punto medio y es perpendicular a la línea que pasa por los dos puntos. Repita con dos puntos más. El centro del círculo es la intersección de las dos líneas. El radio es la distancia entre el centro y cualquiera de los tres puntos.

No estoy seguro de si esto realmente requiere menos cálculo que lo que hizo, pero como todos los pasos intermedios tienen un significado, es más fácil verificar si cometió errores de cálculo.

Editar : tenga en cuenta que la idea de circle lover y esta idea se pueden combinar. Trasladar un punto al origen también hace que estos cálculos sean mucho más fáciles.

Prefiero un enfoque diferente.

Sabes que el centro del círculo es la intersección entre dos cualesquiera de las tres bisectrices perpendiculares.

Por lo tanto,

(1) ( X − X 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 = ( X − X 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2

y

(2) ( X − X 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 = ( X − X 3 ) 2 + ( y − y 3 ) 2 .

Dejar F 1 ( X ) = ( X − X 1 ) 2 − ( X − X 2 ) 2 .     :     polinomio de 1er grado

Dejar F 2 ( X ) = ( X − X 1 ) 2 − ( X − X 3 ) 2 .     :     polinomio de 1er grado

Dejar gramo 1 ( y ) = ( y − y 2 ) 2 − ( y − y 1 ) 2 .     :     polinomio de 1er grado

Dejar gramo 2 ( y ) = ( y − y 3 ) 2 − ( y − y 1 ) 2 .     :     polinomio de 1er grado

puedes expresar gramo 2 ( y ) como A gramo 1 ( y ) + B , dónde A , B son números reales fijos.

Esto implica que

(3) F 2 ( X ) = gramo 2 ( y ) = A gramo 1 ( y ) + B = A F 1 ( X ) + B .

La ecuación (3) anterior le da una ecuación únicamente en X , que puedes resolver para determinar el ( X = X 0 ) coordenada del centro de la circunferencia. Una vez que esto se determina, se puede calcular y 0 a través de gramo 1 ( y 0 ) = F 1 ( X 0 ) .

Abordaría esta pregunta paso a paso haciendo dos cuerdas cualquiera de los tres puntos A, B y C, llámelos AB y BC.

Ahora encuentre el punto medio de AB (D) y dibuje una línea perpendicular a AB desde D, llámela l1. Haz lo mismo para el punto medio de BC (E), llámalo l2. El lugar donde se encuentran l1 y l2 será el centro. Te dejo a ti probar que (pista: la distancia de A y B será igual al centro, por lo tanto, el centro debe estar en la línea l1 para mantener la propiedad isósceles de ABO (si O es el centro))

Resolviendo las dos ecuaciones de las líneas l1 y l2 puedes encontrar el centro O. Encuentra la distancia r encontrando la distancia entre O y cualquiera de A, B o C. Ahora tienes el radio r. Usa la ecuación estándar del círculo y reemplaza el radio (r) y el centro (O).

¿Cuál es la forma más fácil de encontrar el círculo dados tres puntos?
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