Construir una parábola dados dos puntos y un eje de simetría.

Uno usa el teorema de Pascal para hexágonos inscritos en cónicas. Los hexágonos no necesitan ser convexos e incrustados, pero el orden de los puntos (siguiendo la ciclicidad) es importante.

Tienes dos puntos en la parábola.$P_1$y$P_2$y el eje$L$de la parábola. Entonces el punto en el infinito$P_{\infty}$de sobre$L$también está en la parábola. Reflejar puntos$P_1$y$P_2$con respecto a$L$y obtén los puntos$P'_1$y$P'_2$respectivamente, que también se encuentran en la parábola.

Gran paso 1. Construye la punta de la punta de la parábola.$P_0$, es decir, el punto donde la parábola se cruza con el eje de la parábola$L$, junto con la línea$b$a través de$P_0$ortogonal a$L$. La línea$b$es la tangente a la parábola en el punto$P_0$.

Dados los cinco puntos$P_1, \, P_2, \, P'_1, \, P'_2$y$P_{\infty}$y la línea$L$puedes construir el sexto$P_0$usando el teorema de Pascal para el hexágono$P_{\infty}P_2P'_2P'_1P_1P_0$(De nuevo, el orden es importante).

1. Denotamos por$P_{\infty}P_2$la línea a través$P_2$Paralelo a$L$. Construir$Q_1 = P_{\infty}P_2 \cap P_1P_1'$;

2. Construir$Q_0 = L \cap P_1'P_2'$;

3. Línea$Q_0Q_1$es la recta de Pascal para el hexágono$P_{\infty}P_2P'_2P'_1P_1P_0$.

4. Construir$Q_2 = Q_0Q_1 \cap P_2P_2'$;

5. Luego construye el punto$P_0 = P_1Q_2 \cap L$que es el punto buscado (teorema de Pascal). Dibujar linea$b$a través de$P_0$ortogonal al eje$L$.

Gran paso 2. Construye esa tangente$t_2$a la parábola en el punto$P_2$. Para hacer eso, se puede usar la versión degenerada del teorema de Pascal donde el hexágono es$P_0P_0P_1P_2P_2P_2'$donde la línea definida por el borde degenerado$P_0P_0$es recta tangente$b$en$P_0$y la línea definida por el borde degenerado$P_2P_2$es recta tangente$t_2$en$P_2$.

1. Como ya se construyó, punto$Q_2 = P_0P_1 \cap P_2P_2'$;

2. Construir$\hat{Q} = P_1P_2 \cap P_0P_2'$

3. Línea$\hat{Q}Q_2$es la línea de Pascal para el hexágono degenerado$P_0P_0P_1P_2P_2P_2'$;

4. Construir$M = \hat{Q}Q_2 \cap b$;

5. Línea de construcción$t_2 = MP_2$que es la tangente a la parábola en el punto$P_2$(Teorema de Pascal, versión degenerada).

Concluyendo el Gran Paso 3.

1. Dibujar linea$m$punto de paso$M$y ortogonal a la línea$t_2$.

2. Construye el punto$F = m \cap L$. Este es el foco de la parábola.

3. punto de reflexión$F$con respecto a la linea$b$y obtener el punto$S$en$L$tal que$SP_0 = FP_0$, es decir$P_0$es el punto medio del segmento$FS$.

4. Construye la linea$\Gamma$a través de$S$ortogonal al eje$L$. Esta es la directriz.

Georg y Futurologist han respondido mi pregunta con solidez, y estoy publicando aquí otra respuesta que obtuve de las sugerencias de Georg solo para agregar algo de variedad.

Supongo que descubrí esta construcción porque tenía una comprensión más superficial del Teorema de Pascal, ja :P

Antes de enunciar la construcción, haré algunas observaciones con dos figuras.

El hexágono en el Teorema de Pascal se puede formar conectando los puntos en cualquier orden, y justo debajo hay una disposición más simple en una elipse.

En esta figura de arriba, los puntos en la mitad inferior$~P_1'~$y$~P_2'~$son las imágenes especulares de$~P_1~$y$~P_2~$entonces con la simetría la recta de Pascal es perpendicular al eje de simetría$L$, aquí también el$x$-eje.

Ahora traemos el vértice más a la derecha$P_{\infty}$hasta el infinito y tener una parábola, con la simetría y la ortogonalidad intactas, como la figura de abajo:

Aquí la línea azul$\overline{P_{\infty}P_2}$(así como la imagen especular verde$\overline{P_{\infty}P_2'}$)se vuelve paralelo al eje$L$, como algo crucial en la solución de Georg y Futurologist.

Aquí comienza la construcción (ver una figura a continuación):

1. Construir$\overrightarrow{P_2P_1}$para intersecar con el eje de simetría$L$en$Q_0$
2. Construya una línea a través de$Q_0$que es perpendicular a$L$y se cruza con$\overline{P_{\infty}P_2}$en$Q_1$. (Aquí el azul$\overline{P_{\infty}P_2}$se construye como la línea a través de$P_2$y paralelo a$L$; lo mismo ocurre con el verde$\overline{P_{\infty}P_2'}$)
3. Construir$\overleftrightarrow{Q_1P_1'}$cruzarse con$L$en$P_0~$. Este$P_0$será el vértice. (Hasta ahora, este paso es básicamente una versión diferente de la misma construcción que la de Georg y Futurologist)

4. Construir desde el punto$P_0$una línea perpendicular al green$\overline{P_{\infty}P_2'}$y lo cruza en$Q_2$
5. El punto medio de$\overline{P_0Q_2}$se denotará como$M$, tal que$\overline{P_0M} = \overline{Q_2M}$
6. Conecte el segmento de línea$\overline{P_2'M}$para que tengamos un triangulo rectangulo$\triangle Q_2MP_2'$dónde$\angle MQ_2P_2' = \pi/2$es el ángulo recto.
7. Encuentra un punto$N$en el otro lado de$Q_2$(opuesto$P_2'$) para que tengamos el triángulo rectángulo semejante,$\angle NMP_2' =\angle MQ_2P_2' = \pi/2~$y$\angle MNQ_2 = \angle Q_2MP_2'$
8. La longitud$\overline{NQ_2}$da la distancia focal. la directriz$\Gamma$y el enfoque se puede hacer fácilmente. Ver la figura.

Esta construcción en sí muestra por qué funciona: está el triángulo isósceles que muestra$~\overline{NP_2'} = d(\Gamma,\,P_2') = d(F,\,P_2')~$, donde punto$F$es el foco (el punto naranja a la derecha; no etiquetado para mayor claridad).

Tenga en cuenta que los pasos 4 a 8 se basan en$P_2'$, pero se puede hacer la misma construcción para cualquiera de los puntos$~P_1,\,P_1',\,P_2$.

He comprobado algebraicamente que esta construcción es correcta. Me pregunto si hay una manera de NO invocar el teorema de Pascal en el argumento de esta construcción. Básicamente, necesitaría probar que el par directriz-foco construido en base a$P_2'$por este punto especial$P_0$(que sabemos que es el vértice de la parábola) es el mismo par directriz-foco basado en$P_1'$.

PISTA

1. Construir puntos$P_1', P_2'$apilados simétricamente en puntos$P_1, P_2$según el eje de la parábola.

2. --> Tenemos 5 puntos de parábola$(P_1, P_2, P_1', P_2')$y punto$U^\infty$en el infinito en la dirección del eje de la parábola.

3. Usa el teorema de Pascal para construir la tangente a la parábola en uno de los puntos Pi.

4. --> Tenemos la parábola tangente con punto de contacto-Podemos determinar el vértice de parábola, parámetro,...

Ejemplo (la recta tangente en el punto P1 del teorema de Pascal)--> vértice V y así sucesivamente.

Suplemento

A la recta de Pascal se le dan dos puntos: las intersecciones de las rectas

$23-56: \quad P_1P_2 \times P_1'P_2'$

$34-61: \quad P_2U^\infty \times P_1'P_1$

Por el tercer punto de intersección pasa la recta tangente:

$45-12: \quad P_2'U^\infty \times P_1P_1 \equiv$tangente en el punto$P_1$