Encuentra la distancia más corta entre el punto y una parábola

Encuentre la distancia más corta entre el punto$(p,0)$, dónde$p> 0$, y la parábola$y^2=4ax$, dónde$a>0$, en los distintos casos que se presenten según el valor de$p/a$.
[Es posible que desee utilizar las coordenadas paramétricas$(at^2, 2at)$de puntos en la parábola]

Por lo tanto, encuentre la distancia más corta entre el círculo$(x-p)^2 +y^2 = b^2$, dónde$p>0$y$b>0$y la parabola$y^2=4ax$, dónde$a>0$, en los distintos casos que se presenten según los valores de$p, a, b$.

No tengo mucha idea aquí, como de costumbre, comencé a buscar$\dfrac {dy}{dx}$de la ecuación paramétrica =$\dfrac 1 t$

Así que el graduado normal es$-t$y pasa a través$(p, 0)$.

O tenemos dos rectas paralelas formadas por

$$y=\dfrac 1 t x - \dfrac 1 t p$$ $$y=\dfrac 1 t x - at$$

y encuentre la distancia más corta entre ellos. Sé

$$-t = \dfrac {-2at}{p -at^2}$$ y traté de encontrar t en términos de p y a, pero la distancia entre ellos usando la ecuación $$d = \dfrac{\left| d2-d1 \right|}{\sqrt {m^2 + 1}}$$ Se vuelve realmente complicado y no parece dar lo que dice el documento de solución:

La distancia más corta es$p$si$p < 2$y es$2\sqrt{a(p-a)}$si$\dfrac p a \geq 2$.

¿Hay una manera rápida de hacer esto?

Además, en la parte anterior de esta pregunta

La línea$L$tiene ecuación$y=mx+c$, dónde$m>0$y$c>0$. Demuestre que, en el caso$mc>a>0$, la distancia más corta entre L y la parábola$y^2 = 4ax$

$$\dfrac {mc-a}{m\sqrt{m^2 +1}}$$

Lo resolvi usando eso$d$ecuación que encontré de la Wikipedia. No se proporciona en el libro de fórmulas, así que creo que se supone que debo encontrar una forma alternativa de resolverlo. (O derivarlo por mi cuenta)

Igualar dos ecuaciones normales y compararlas con la ecuación original da un punto$(\dfrac a {m^2}, \dfrac {2a} {m})$

nNw

$$d = \sqrt {(\dfrac a {m^2} - x)^2+{(\dfrac {2a} {m} - (mx +c)})^2}$$

Derivando para encontrar el valor máximo da:

$$=> x = \dfrac {c-\dfrac {2a}{m} - \dfrac {a}{m^2}}{m+1}$$

Nuevamente se vuelve muy desordenado cuando pongo esto$x$volver a la ecuación para encontrar$d$.
¿Hay una mejor manera de hacer esto?

Sé que este bloque de texto aquí puede desanimar a algunas personas, pero quería mostrar mi trabajo tanto como sea posible.
Muchas gracias de antemano.