Encuentre la(s) intersección(es) entre una parábola parametrizada y una línea

Estoy tratando de encontrar el(los) valor(es) del parámetro$t$en los puntos de intersección entre una parábola general 2D (como una función paramétrica de$t$) y una línea cuyas ecuaciones se pueden derivar de dos puntos$p$y$q$($p \not = q$). La parábola se define a continuación:

$$x(t) = \frac{1}{2} a_x t^2 + v_x t + x_0 \\ y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 + v_y t + y_0$$

Mi interes:

Si pudiera encontrar esta solución, entonces podría predecir el tiempo de colisión entre dos segmentos de línea rígidos que no giran. Usando el movimiento relativo entre ellos como el$a$y$v$en esta curva parabólica para cada punto, y encontrando la intersección entre este y el otro segmento de línea, puedo encontrar el más pequeño$t > 0$tal que las líneas colisionan.

Esto sería para un motor de física, y el uso de la aceleración en el cálculo permitiría grandes ganancias de eficiencia (no tener que predecir y manejar constantemente la colisión entre cada par de segmentos de línea, solo durante los períodos de tiempo relevantes o cuando cambia la aceleración).

Editar:

Gracias a Andrea Mori pude resolver esta ecuación (dada la recta definida por$p$y$q$):

$$(q_y - p_y) x(t) - (q_x - p_x) y(t) - |p \times q| = 0$$

(Al tratar$a_x b_y - a_y b_x$como equivalente a$\left| a \times b \right|$para 2D). Entonces, sustituyendo$x(t)$y$y(t)$, pude simplificar a más productos cruzados:

$$\frac{1}{2}\left(\left| a \times q \right| - \left| a \times p \right|\right) t^2 + (\left| v \times q \right| - \left| v \times p \right|)t + (\left| r \times q \right| - \left| r \times p \right| - \left| p \times q \right|) = 0$$

La fórmula cuadrática se puede aplicar entonces usando el claramente visible$a$,$b$, y$c$valores (aunque escribirlo sería feo). Un discriminante negativo ($b^2 - 4ac$) indica que no hay colisión, cero indica exactamente una y positivo indica dos (la menor$t > 0$siendo el más importante).

Creo que la segunda fórmula luego se traduciría a 3D, aunque no lo sé sin evaluarlo un poco más.